5 Способ решения методом умножения иррационального уравнения на функцию

1) Прежде чем умножить исходное уравнение x + = (*) на функцию, «сопряжённую» его левой части, т.е. на алгебраическое выражение (x – ), найдём его ноль методом равносильных переходов:

Проверка подстановкой (устно) в исходное уравнение убеждает, что x = / 2 – его корень. Но он может быть не единственным для исходного уравнения.

2) Перейдём к уравнению-следствию

|Разделим обе части на |

От системы

перейдём к новому уравнению-следствию, сложив оба уравнения:

2x = x² - 1 / + ( x – 1)² = 0 x = / 2.

Итак, других корней, кроме x = / 2, исходное уравнение не имеет.

Ответ: x = / 2.

Методическое замечание. В некоторых пособиях, адресованных школьникам и абитуриентам, опромётчиво рекомендуется подход, называемый методом «использования формулы сокращённого умножения А + = (A² – B) / (A –)». Но он может приводить при применении формулы“слева – направо” к потере корней, которые являются корнями уравнения вида А – = 0.

6 Способ решения методом тригонометрической подстановки

Эвристическое правило. Если в иррациональное уравнение входит:

1) радикал , где а ≠ 0, то можно сделать одну из двух тригонометрических подстановок:

a) x = |a|sint, где –π/2 ≤ t ≤ π/2, или

б) x = |a|cost, где 0 ≤ t ≤ π;

2) радикал , где а ≠ 0, то можно сделать тригонометрическую подстановку x = |a|tgt, где –π/2 < t < π/2;

3) радикал , где а ≠ 0, то можно сделать одну из двух тригонометрических подстановок:

a) x = |a| / cost, где 0 ≤ t ≤ π и t ≠ π/2, или

б) x = |a| /sint, где –π/2 ≤ t ≤ π/2 и t ≠ 0.

Рассмотрим два приёма (А, Б) рационализирующей тригонометрической подстановки.

А-приём. Так как ОДЗ решаемого уравнения x + = есть отрезок [-1; 1], причём числа x = ±1 не являются его корнями, то сделаем подстановку x = cost, где 0 < t < π, а поэтому sint > 0. Для нахождения cost (но не t) получим уравнение cost + sint = , которое здесь удобнее всего решать методом возведения обеих частей в квадрат (переходом к однородному уравнению-следствию):

cos t + sin t = (cos t + sin t)² = 2 cos²t + sin²t + = 2 = cos²t + sin²t (однородное уравнение).

Заметим, что из последнего уравнения необходимо следует, что

> 0 и так как при 0 < t < π sin t > 0, то cos t > 0. Поэтому в уравнении cos t + sin t = обе части положительны и возведение его в квадрат на предыдущем шаге не приведёт к появлению посторонних корней. Итак, при 0 < t < π/2 имеем: (cos t – sin t)² = 0 cos t = sin t tg t = 1. Поэтому cos t = = 1 / и x = / 2. Ответ:x = / 2.

Б-приём. Покажем решение уравнения x + = , где 1 < x <1,

с помощью тригонометрической подстановки x = sin t, где –π/2 < t < π/2, а поэтому cos t > 0. Для нахождения sin t получим уравнение cos t + sin t = , из которого следует, что (cos t + sin t)² = 2 tg t = 1. По-прежнему здесь sin t и cos t положительны и 0 < t < π/2. Поэтому sin t = = = 1 / и x = / 2. Ответ: x = / 2.