14.3. Превращение энергии при свободных механических колебаниях.

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проходит положение равновесия в силу инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической энергией и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т.д..

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и наоборот. Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная энергия сохраняется.

Для пружинного маятника

, 14.15, причем

, а , так как

Для пружинного маятника . Тогда для (Е_к)_max получаем , то есть (Е_п)_max=(Е_к)_max

Для математического маятника

Е= Е_к+Е_п= 14.16

Рис. 14.6. Превращение энергии при колебаниях математического маятника.

При малых углах из соотношений сторон прямоугольного треугольника следует , то есть , но , тогда =

Для свободных колебаний математического маятника , и

На примере пружинного маятника получим зависимость от времени потенциальной и кинетической энергии. Пусть смещение x(t) груза из положения равновесия и его скорость v(t) изменяются со временем по закону:

; , где.

Следовательно

14.17

. 14.18

Графики этих функций представлены на рис.14.7. Потенциальная и кинетическая энергии два раза за период колебаний маятника достигают максимальных значений. Сумма остаётся неизменной.

Рис. 14.7. Потенциальная , кинетическая и полная энергия пружинного маятника.

14.4. Вынужденные колебания. Резонанс.

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными. Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не даёт колебаниям затухнуть, несмотря на действие сил сопротивления. Если свободные колебания происходят на частоте , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте внешней силы. В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания и свободные колебания. Свободные колебания затухают из-за наличия сил сопротивления, и через некоторое время в системе остаются только колебания на частоте внешней вынуждающей силы.

Рис 14.7. Вынужденные колебания. F_внеш – внешняя сила, изменяющаяся по закону: F_внеш(t) = F_махcos

Если частота внешней силы приближается к собственной частоте , возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называют резонансом. Зависимость амплитуды x_m вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой.

Рис.14.8. Резонансные кривые для различных сил сопротивления.

В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях с увеличением силы трения (кривые1-4) амплитуда колебаний при резонансе уменьшается и определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за счет трения за то же время.

Явление резонанса может являться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственная частота их колебаний совпадет с частотой периодически действующей силы, возникающей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.