9. Разложение вектора по координатным ортам

Теорема. Всякий вектор может быть представлен в виде линейной комбинации всех координатных ортов с проекциями рассматриваемого вектора на соответствующие координатные оси, т.е.

.

Здесь используются обозначения: , ,

Доказательство.

Совместим начало вектора с началом декартовой системы координат, т.е. построим вектор такой, что .

Построим составляющие вектора по координатным осям:

, , .

Согласно определению суммы векторов,

,

или, что то же самое, .

Если применить теперь теорему о связи между составляющей вектора по оси и ортом этой оси, то получим т.е. что и требовалось доказать.

Теорема. Разложение вектора по координатным ортам единственно.

Доказательство. Пусть . Покажем, что , , Вычислим проекцию вектора на ось . На основании теоремы о проекции суммы векторов на ось .

Воспользуемся теоремой о проекции на ось произведения вектора на скаляр. Тогда получим . Так как , , , то имеем и потому .

Аналогично можно доказать, что и

Разложение орта вектора по координатным ортам

Определение. Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов между координатными осями и рассматриваемым вектором , т.е. , , .

Теорема. Орт вектора может быть представлен в виде линейной комбинации координатных ортов с соответствующими направляющими косинусами этого вектора, т.е.

Доказательство. По теореме о разложении вектора по координатным ортам

и так как , , , то

Разложение радиуса-вектора точки по координатным ортам

Теорема. Радиус-вектор точки может быть представлен в виде линейной комбинации координатных ортов с декартовыми координатами точки , т.е.

,

где - радиус-вектор точки , , , - декартовы координаты точки .

Доказательство. Всякий вектор может быть представлен в виде:

.

Применительно к радиусу-вектору точки имеем

Согласно определению декартовых координат точки

, , ,

и потому .

Разложение вектора ММ по координатным ортам

Теорема. Всякий вектор может быть представлен в виде линейной комбинации координатных ортов с разностями соответствующих одноименных координат конца и начала рассматриваемого вектора, т.е.

.

где , , - декартовы координаты точки , , , - декартовы координаты точки .

Доказательство. Согласно теореме о разложении вектора по коорди­натным ортам, имеем

,

или, с учетом теоремы о проекции вектора на числовую ось,

.

Утверждение доказано.

Определение. Совокупность двух векторов и называется базисом плоскости, если любой вектор, расположенный в плоскости векторов и , может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и с некоторыми числами и , т.е. для любого вектора , расположенного в плоскости векторов и , существуют числа и такие, что . Можно доказать, что совокупность любых двух неколлинеарных векторов является базисом плоскости. Аналогично вводится понятие базиса пространства.

Определение. Совокупность трех векторов , и называется базисом пространства, если любой вектор в пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов , и , с некоторыми числами , и , т.е. для любого вектора в пространстве существуют числа , и , такие, что .

В теореме о разложении вектора по координатным ортам было показано, что для любого вектора справедливо равенство

.

Следовательно, совокупность ортов является базисом пространства.

Можно доказать, что совокупность любых трех некомпланарных векторов является базисом пространства.