Лекция 10 Законы распределения функции двух случайных величин

Вероятностный смысл функции распределения двух св

Подобно тому, как закон распределения функции одного случайного аргумента Y = (X) связан с вероятностью попадания аргумента в область D(y) = {x: (x)<y}, функция распределения СВ Y = (X₁, X₂) определяет вероятность попадания в соответствующую двумерную область:

F_y(y)  G(y) = P(Y<y) = P((X₁, X₂)  D(y) = {x₁, x₂ : (x₁, x₂) < y}).

Если система (X₁, X₂) имеет совместную плотность f(x₁, x₂), функцию распределения можно получить интегрированием по области D(y):

Общий принцип получения законов распределения функций СВ сводится к целесообразному представлению области интегрирования.

Пример 1: распределение площади проекции вращающегося параллелепипеда

Рис. 10.1. Поверхность S(, ) и ее линии уровня

Площадь проекции беспорядочно вращающегося параллелепипеда на плоский экран связана со сферическими углами ,  соотношением (9.6). Чтобы построить функцию распределения F_S(s) = P(S < s), нужно сформировать область возможных значений D(s) = {, : S(, ) < s}, и интегрировать закон распределения f(, ) = 1/ (2) cos  по этой области. Построим поверхность S(, ) для параллелепипеда 1084 в диапазоне углов 0 <  < /2, 0 <  < /2 (рис. 10.1):

>> a=10;b=8;c=4;A=c*b;B=a*c;C=a*b;

>> [Fi, Teta]= meshgrid(0:0.1:pi/2,0:0.1:pi/2);

>> S=A*sin(Fi)+(B*sin(Teta)+C*cos(Teta)).*cos(Fi); surfc(Fi, Teta, S)

Рис. 10.2. Функция распределения F(s)

Из графика видно, что область интегрирования D(s) для вероятности G(s) = P(S < s) расположена между соответствующей линией уровня s и линией  = /2. Файл-функция Para3_Distrib (Листинг 10.1, Приложение 10) выполняет численное интегрирование по области D(s) в соответствии с конфигурацией линий уровня. Построим функ­цию распределения F(s) (рис. 10.2), и в качестве простой проверки сеточной функции вычислим среднюю площадь, которая должна быть равной (A + B + C)/2 = 76:

>> [x,F, f]=Para3_Distrib(a,b,c);plot(x,F), hold on,m = Trap(x.*f,x),d=Trap(f.*(x-m).^2,x)

m = 75.9503 d = 223.5303

Алгоритмическое построение функции распределения позволяет исследовать вероятностную модель готовых поражающих элементов в форме параллелепипеда. Построим для сравнения функцию распределения проекции равновеликого куба:

>> h=(a*b*c)^(1/3);

[x,F,f]=Para3_Distrib(h,h,h); plot(x,F),m=Trap(x.*f,x),M=6*h^2/4, d = Trap(f.*(x-m).^2,x)

m = 70.2376 M = 70.1784 d = 50.8886

Первый начальный момент m практически совпал с точным значением M средней площади проекции согласно лемме Коши. Графики на рис. 10.2 показывают меньший разброс площади проекции компактного тела, что подтверждает и вычисленная дисперсия d. Оптимизация линейных размеров поражающего элемента может существенно повлиять на эффективность действия. Еще большее влияние может оказать изменение межреберных углов, но такой анализ не предусмотрен в программе Para3_Distrib, расчетные процедуры в которой построены для параллелепипедов.

Рис. 10.3. Сравнение точных и статистических функций распределения F(s)