Другие модели однократ­ной коррекци

Так же можно построить однократную коррекцию с «мертвой зоной» Y = X, если |X| < , Y = X – a sign(X), если |X| > . В этом случае функция (x) имеет не две ветви, а три. Можно исследовать коррекцию промаха при круговом рассеивании – СВ Y = |R – a|. Эти и другие модели однократной коррекции рассмотрены в [1] .

Пример 8: распределение промаха после однократ­ной коррекци

Исследуем результат коррекции промаха при круговом рассеивании как СВ Y = |R – a|. Промах R = в картинной плоскости подчиняется закону Рэлея с параметром . Коррекция промаха на величину a имеет смысл, если промах превышает допустимую величину  ( < a). Суммарный промах после условной коррекции T можно записать как функцию R:

.

Чтобы найти оптимальные значения a и , построим обратную функцию (r, a, ) согласно рис. 9.7

и выполним подстановку в (9.24):

x y  a

Рис. 9.8

С помощью электронной формулы f_Rayl построим графики функции f_R (рис. 9.9). Другие модели однократной коррекции рассмотрены в [1] .

Рис. 9.9

Пример 9: одномерное перекрытие

Рис. 9.10. Пере­крытие полосы

На полосу шириной h брошен круг диаметром d так, что случайное расстояние X центра круга от средней линии полосы подчиняется нормальному закону с параметрами m_x, _x. Если d < h, возможные значения СВ Y – заключены в интервале [0, d], причем величина перекрытия имеет наибольшее значение при |x| < (h – d)/2 = a и уменьшается до нуля при возрастании |x| вплоть до значения b = (h + d)/2 (рис. 9.9):

В интервалах a<|x|<b функция (x) = b – |x| имеет двузначную обратную (y) при 0 < y < d:

Выполнив подстановку в (10.24), получим плотность распределения величины линейного перекрытия внутри интервала [0, d]:

f_Y(y) = f_X(y – b) + f_X(b – y), 0 < y < d.

Функцию распределения F_Y(y) внутри интервала [0, d] с учетом того, что события (Y<y) и (Y<₁(y)) + (Y>₂(y)) эквивалентны:

Воспользовавшись стандартной функцией нормального распределения, получим:

На концах интервала F_Y(0) = 0, F_Y(d⁺) = 1. Значит, в этих точках функция распределения имеет разрывы первого рода:

Рис. 9.11. Распределение линейного пререкрытия

Введем исходные данные m_x = 10, _x = 15, d = 30, h = 50, построим расчетную сетку, вычислим на ней плотность и функцию распределения СВ Y, построим их графики (рис. 9.11):

>> X=Norm_1(10,15);d=30;h=50;b=(h+d)/2;y=0:d;

>> f=f(X,y-b)+f(X,b-y); F=fun(X,y-b)+1-fun(X,b-y);

>> plot(y,f*30,[-0.1, y, d*1.0001, d*1.1],[0,F,1,1]), grid

Контрольные вопросы

1. На чем основан практический интерес к функциям случайных величин?

2. Как вычислить числовые характеристики фунуции случайных величин, не располагая ее законом распределения?

3. Система n случайных величин характеризуется вектором математических ожиданий M и корреляционной матрицей K. Как найти дисперсию суммы этих случайных величин?

4. Как выразить дисперсию объема параллелепипеда через числовые характеристики его независимых случайных размеров?

5. Как можно вычислить математическое ожидание и дисперсию слабо нелинейной функции Y = (X₁, …, X_n) системы n случайных величин?

6. Каким соотношением связана плотность распределения монотонной функции случайной величины с законом распределения аргумента?

7. Запишите в общем виде выражение, связывающее плотность распределения немонотонной функции случайной величины с законом распределения аргумента.

8. Запишите в общем виде выражение для функции распределения системы двух случайных величин.

ПРИЛОЖЕНИЕ 9

Листинг 9.1. Файл-функция Para2_Distrib для построения закона распределения случайной площади проекции параллелепипеда:

function [Y,F]=Para2_Distrib(A,B,C)

topt=atan(B/C);

yopt=B*sin(topt)+C*cos(topt);

fopt=atan(A/yopt);

yopt=A*sin(fopt)+yopt*cos(fopt);

Y=linspace(A,yopt+3,300);

F=[];

for y=Y

F(end+1)=Para2_Proect_(y, A,B,C);

end

%

function out=Para2_Proect_(y, A,B,C)

out=0;

T=linspace(0,pi/2,100); dt=T(2)-T(1);T=T(2:end);

for t=T

b=B*sin(t)+C*cos(t);

ab2=A^2+b^2;

D=A^2*y^2-ab2*(y^2-b^2);

f2=0;

if D>0

D=sqrt(D);

f1 = (A*y-D)/ab2;

f2 = (A*y+D)/ab2;

if f1>0 out=out+f1; end

end

out=out+(1-f2);

end

out=out*2/pi*dt;

Листинг 9.2. Файл-функция Mid_S_Stat для построения статистического закона распределения случайной площади проекции многогранника:

function [U,F,f,maxW,L]=Mid_S_Stat(A,N,Gr)

if nargin<2 N=100000;end

s=rand(N,1)*2-1; s1=sqrt(1-s.^2);

v=rand(N,1)*2*pi;

D=[s1.*cos(v), s1.*sin(v), s];

n=size(A,1);W=0;L=zeros(N,1);

for i=1:n

d=D.*repmat(A(i,1:3),N,1); d=sum(d,2);

d(d<0)=0;

if nargout>4 L=max([L,d],[],2); end

d=d*A(i,4);

W=W+d;%disp(mean(sum(d,2)))

end

[f, F, U] = SDL(W,50); maxW=max(W);

Листинг 9.3. Скрипт-файл Lect9 для формирования матрицы проекций 8-гранника:

salfa=sin(alfa);calfa=cos(alfa);

h=c/(2*salfa);h1=sqrt(b^2+c^2)/2;a1=a-c*calfa/salfa;

St=b*h/2;Sb=(a+a1)/2*h1;

beta=atan(c/b);

nob=[0 1 1; 0 1 -1; 0 -1 1; 0 -1 -1];

not=[1 0 1; 1 0 -1; -1 0 1; -1 0 -1];

A=[nob,ones(4,1)].*repmat([0 cos(beta) sin(beta) Sb],4,1);

A=[A;[not,ones(4,1)].*repmat([salfa 0 calfa St],4,1);

БЭСПиБП.9. Функции случайных величин 14