- •1. Возрастание и убывание функции.
- •Примеры
- •2. Экстремумы функции.
- •Примеры
- •3. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •Примеры
- •2Способ (с помощью второй производной)
- •4. Выпуклость функции и точки перегиба.
- •Примеры
- •5. Асимптоты.
- •Примеры
- •6. Построение графиков функций.
- •6.7. Исследовать параметрически заданную кривую
- •И построить ее.
- •Литература
- •Содержание
- •Учебное издание Александр Борисович Дюбуа Светлана Николаевна Машнина
Рязанский филиал
Государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«московский государственный университет
экономики, статистики и информатики (мэси)» ____________________________________________________________
Кафедра гуманитарных и естественнонаучных дисциплин
А.Б. ДЮБУА, С.Н. МАШНИНА
математиЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: исследование
функций одной переменной
Допущено учебно-методическим советом Рязанского филиала
государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (мэси)» в качестве учебного пособия для студентов Рязанского филиала МЭСИ, обучающихся по специальностям:
080801 – «Прикладная информатика (по областям)»; 080111 – «Маркетинг»; 080507 – «Менеджмент организаций»; 080503 – «Антикризисное управление»; 080109 – «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»;080105 – «Финансы и кредит».
Протокол №3 от19 января.2011 г.
Рязань 2011
УДК 517.2
ББК 22.15
Д11
Рецензент:
каф. высшей математики Рязанского государственного радиотехнического университета (зав. каф. К.В. Бухенский, к.ф.-м.н., доцент).
Дюбуа А.Б., Машнина С.Н. Математический анализ: исследование функций с помощью производных, – Рязань: Рязанский филиал МЭСИ, 2011 г. – 48 с.
Составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом по высшей математике для специальностей: 080801 – «Прикладная информатика (по областям)»; 080111 – «Маркетинг»; 080507 – «Менеджмент организаций»; 080503 – «Антикризисное управление»; 080109 – «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»; 080105 – «Финансы и кредит».
-
© Рязанский филиал ГОУВПО «Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)», 2011
1. Возрастание и убывание функции.
Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
при всех .
Аналогично, условие
при всех
является необходимым и достаточным для убывания дифференцируемой на интервале функции .
Примеры
1.1. Доказать, что функция строго возрастает на промежутке .
Так как
,
то для всех функция является строго возрастающей на всей области определения.
1.2. Доказать, что если , то .
Пусть , тогда . Эта функция дифференцируема на интервале , причем
,
то для всех функция строго убывает на интервале . Поэтому
для всех .
То есть выполнено
.
2. Экстремумы функции.
Необходимое условие экстремума.
Точки экстремума функции следует искать среди тех точек области определения, в которых производная этой функции либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная данной функции равна нулю, называет стационарными точками этой функции, а точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю либо не существует,— ее критическими точками.
Достаточные условие экстремума.
1) Если меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , то - точка строгого минимума функции . Если меняет знак с плюса на минус при переходе через точку , то - точка строгого максимума функции .
2) Пусть и существует вторая производная . Тогда, если , то - точка строгого минимума функции . Если , то - точка строгого максимума функции .
Примеры
2.1. Найти точки экстремума функции
.
Функция дифференцируема на множестве всех действительных чисел, поэтому все её точки экстремума содержатся среди стационарных точек функции, являющихся корнями уравнения , т.е. уравнения
,
которое имеет корни , , . Для удобства составим таблицу:
возрастает |
||
0 |
|
|
возрастает |
||
0 |
max |
|
убывает |
||
0 |
min |
|
возрастает |
Из таблицы видно, что , - точки строгого максимума и минимума, а не является точкой экстремума.
2.2. Найти точки экстремума функции
.
Прежде всего, отметим, что функция — четная, непрерывная на , дифференцируемая на , кроме точек . Эквивалентное представление функции:
.
Производная функции равна
,
критическими точками которой будут , , .
Составим таблицу
возрастает |
||
0 |
max |
|
убывает |
||
не существует |
min |
|
убывает |
||
не существует |
max |
|
убывает |
||
не существует |
min |
|
возрастает |
||
0 |
max |
|
убывает |
Используя полученные результаты, получаем: и — точки строгого минимума функции , , и — точки строгого максимума этой функции.