Рязанский филиал

Государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«московский государственный университет

экономики, статистики и информатики (мэси)» ____________________________________________________________

Кафедра гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

А.Б. ДЮБУА, С.Н. МАШНИНА

математиЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: исследование

функций одной переменной

Допущено учебно-методическим советом Рязанского филиала

государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (мэси)» в качестве учебного пособия для студентов Рязанского филиала МЭСИ, обучающихся по специальностям:

080801 – «Прикладная информатика (по областям)»; 080111 – «Маркетинг»; 080507 – «Менеджмент организаций»; 080503 – «Антикризисное управление»; 080109 – «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»;080105 – «Финансы и кредит».

Протокол №3 от19 января.2011 г.

Рязань 2011

УДК 517.2

ББК 22.15

Д11

Рецензент:

каф. высшей математики Рязанского государственного радиотехнического университета (зав. каф. К.В. Бухенский, к.ф.-м.н., доцент).

Дюбуа А.Б., Машнина С.Н. Математический анализ: исследование функций с помощью производных, – Рязань: Рязанский филиал МЭСИ, 2011 г. – 48 с.

Составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом по высшей математике для специальностей: 080801 – «Прикладная информатика (по областям)»; 080111 – «Маркетинг»; 080507 – «Менеджмент организаций»; 080503 – «Антикризисное управление»; 080109 – «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»; 080105 – «Финансы и кредит».

© Рязанский филиал ГОУВПО «Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)», 2011

1. Возрастание и убывание функции.

Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

при всех .

Аналогично, условие

при всех

является необходимым и достаточным для убывания дифференцируемой на интервале функции .

Примеры

1.1. Доказать, что функция строго возрастает на промежутке .

 Так как

,

то для всех функция является строго возрастающей на всей области определения.

1.2. Доказать, что если , то .

 Пусть , тогда . Эта функция дифференцируема на интервале , причем

,

то для всех функция строго убывает на интервале . Поэтому

для всех .

То есть выполнено

.

2. Экстремумы функции.

Необходимое условие экстремума.

Точки экстремума функции следует искать среди тех точек области определения, в которых производная этой функции либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная данной функции равна нулю, называет стационарными точками этой функции, а точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю либо не существует,— ее критическими точками.

Достаточные условие экстремума.

1) Если меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , то - точка строгого минимума функции . Если меняет знак с плюса на минус при переходе через точку , то - точка строгого максимума функции .

2) Пусть и существует вторая производная . Тогда, если , то - точка строгого минимума функции . Если , то - точка строгого максимума функции .

Примеры

2.1. Найти точки экстремума функции

.

 Функция дифференцируема на множестве всех действительных чисел, поэтому все её точки экстремума содержатся среди стационарных точек функции, являющихся корнями уравнения , т.е. уравнения

,

которое имеет корни , , . Для удобства составим таблицу:

		возрастает
	0
		возрастает
	0	max
		убывает
	0	min
		возрастает

Из таблицы видно, что , - точки строгого максимума и минимума, а не является точкой экстремума. 

2.2. Найти точки экстремума функции

.

 Прежде всего, отметим, что функция — четная, непрерывная на , дифференцируемая на , кроме точек . Эквивалентное представление функции:

.

Производная функции равна

,

критическими точками которой будут , , .

Составим таблицу

		возрастает
	0	max
		убывает
	не существует	min
		убывает
	не существует	max
		убывает
	не существует	min
		возрастает
	0	max
		убывает

Используя полученные результаты, получаем: и — точки строгого минимума функции , , и — точки строгого максимума этой функции.