Розділ 5 контактна взаємодія нескінченної пластинки з криволінійним отвором і двозв’язних штампів з кутовими точками

5.1. Односторонній контакт двозв’язного штампа з кутовими точками і криволінійного отвору в нескінченній ізотропній пластинці

5.1.1. Постановка задачі. Основні рівняння. Розглянемо нескінченну ізотропну пластинку з гладким криволінійним отвором виду (2.1), в який без зазору і натягу вставлено абсолютно жорсткий двозв’язний штамп з кутовими точками. До штампа прикладено силу P₀, яка діє вздовж осі його симетрій (рис. 5.1). Зовнішнє навантаження на нескінченності відсутнє.

Рис. 5.1.

Внаслідок взаємодії пластинки і штампа на контурі отвору виникають дві зони: – зона контакту і – зона, вільна від напружень. Розв’язок задачі полягає у визначенні контактних напружень на і кільцевих напружень на

Середню площину пластинки віднесемо до полярної системи координат з полюсом в центрі отвору. Нехай значення полярного кута, які визначають зону контакту. Тоді . При конформному відображенні (2.1) образом буде зона на одиничному колі в площині .

Граничні умови задачі вибираємо у вигляді рівності нормальних зміщень пластинки і штампа в зоні контакту. При відсутності сил тертя ці умови запишуться так

(5.1)

Тут – нормальні зміщення контурних точок штампа.

Оскільки

(5.2)

де - горизонтальне зміщення штампа, то умови (5.1) з врахуванням властивостей відображення (2.1) та (2.31), (2.32) можна подати у вигляді

Тут

(5.3)

Враховуючи симетричність задачі відносно осі Ox і властивості функцій (рис. 5.2, рис. 5.3)

Рис. 5.2.

Рис. 5.3.

формули (2.14) для визначення компонент вектора зміщення контурних точок можна записати так

(5.4)

Інтегруючи (5.4) за частинами, знаходимо

(5.5)

Функції через їх похідні можна подати у вигляді

(5.6)

Підставляючи (5.5), (5.6) в граничні умови (5.3) одержимо систему двох інтегральних рівнянь для визначення функцій

(5.7)

Крім системи (5.7) повинна виконуватися умова рівноваги штампа, яка набуває вигляду

(5.8)

і служить для визначення сталої .Співвідношення (5.7), (5.8) визначають математичну модель контактної задачі про взаємодію двозв’язного штампа з кутовими точками і криволінійним отвором нескінченної пластинки.

Якщо функції будуть відомі, то величини на підставі (4.8) визначаються за формулами

(5.9)

Компоненти напруженого стану на контурі знаходимо із співвідношень (2.5), (2.6).

Точний розв’язок системи (5.7), (5.8) знайти не вдається. Для її наближеного розв’язку необхідно спочатку звести цю систему до стандартного вигляду. Заміною змінних

(5.10)

систему (5.7), (5.8) перетворимо так

(5.11)

Тут введено позначення

(5.12)

5.1.2. Встановлення структури розв’язку системи (5.11). Для побудови наближеного розв’язку системи (5.11) встановимо структуру функцій в околі точок .

Продиференціювавши перше рівняння (5.11) по x, одержимо після певних перетворень

(5.13)

де - функція, яка містить регулярні при доданки і сингулярний інтеграл з логарифмічним ядром.

Система (5.13) повинна бути несуперечною при . Умова несуперечності визначає структуру її розв’язку в кутових точках зони контакту.

Допустимо, що функції задовольняють на (-1; 1) умову Гельдера, а в околі торців мають місце подання

(5.14)

Тут - функції, які задовольняють умову Гельдера на [-1; 1]; .

Враховуючи співвідношення

(5.15)

де - регулярні при функції, із системи (5.13) одержимо після множення на

(5.16)

причому .

Система (5.16) відносно має ненульовий розв’язок, тому

(5.17)

або (5.18)

На підставі (5.18) співвідношення (5.14) приймають вигляд

(5.19)

Таким чином, в околі торців зони контакту функції , а отже і нормальні напруження мають кореневу особливість.

5.1.3. Наближений розв’язок задачі. Наближений розв’язок задачі будемо шукати модифікованим методом колокації, ефективність якого проілюстровано в задачах контактної взаємодії гладких штампів з криволінійними отворами в нескінченних пластинках.

Згідно з (5.19), розв’язок системи (5.11) вибираємо у вигляді

(5.20)

де .

Для функцій побудуємо інтерполяційні поліноми Лагранжа, вибравши за вузли інтерполяції корені поліномів Чебишева другого роду порядку , вважаючи – парним.

Як відомо, такі поліноми мають вигляд

(5.21)

Тут

Враховуючи (5.20), (5.21) і рівність

(5.22)

запишемо квадратурні формули для обчислення особливих інтегралів з (5.11)

(5.23)

Для обчислення регулярних інтегралів застосуємо квадратурну формулу Гаусса

(5.24)

на підставі якої знаходимо

(5.25)

де

Інтеграли із змінною верхньою межею в (5.11) обчислюються прямим інтегруванням

(5.26)

Підставляючи (5.23), (5.25), (5.26) в систему (5.11) і надаючи аргументу послідовно значення а аргументу – відповідно значення одержимо дискретну модель задачі у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення сталих

(5.27)

Тут введено позначення

(5.28)

Якщо розв’язок системи (5.27), (5.28) буде відомий, то формули (5.9) для обчислення в точках колокації матимуть вигляд

(5.29)

В точках зони контакту, відмінних від точок колокації, величини визначаються за формулами

(5.30)

де

Контактні та кільцеві зусилля на контурі визначаються за формулами (2.5), (2.6), які в даному випадку приймають вигляд

(5.31)

Тут

(5.32)

Значення полярного кута для точок контура визначаються за формулою

(5.33)

5.1.4. Окремі випадки задачі. Система інтегральних рівнянь (5.11) дозволяє розглянути низку часткових задач для пластинки з криволінійним отвором і різних типів жорстких штампів.

1) Якщо в системі (5.11) покласти то одержимо розв’язок задачі про тиск однозв’язного штампа з кутовими точками на контур криволінійного отвору в нескінченній ізотропній пластинці (рис. 5.4.).

Рис. 5.4.

При цьому для обчислення величин в центрі зони контакту використовуються формули (5.30), в яких необхідно покласти

(5.34)

2). При однозв’язний штамп з кутовими точками вироджується в клиноподібний і система (5.11) визначає розв’язок задачі про тиск зосередженої сили на контур криволінійного отвору в нескінченній пластинці (рис. 5.5).

Рис. 5.5.

3). Покладаючи в (5.11) приходимо до задачі про тиск на контур отвору в пластинці системи двох зв’язаних клиноподібних штампів, яка еквівалентна задачі про тиск на цей контур системи двох паралельних сил, відстань між якими незмінна (рис. 5.6.).

Рис. 5.6.

4). Проведені автором дослідження показали, що із збільшенням кута інтенсивність росту контактних зусиль при різко зменшується. Це означає, що існує граничний кут , при якому на зовнішніх кінцях зон контакту зусилля дорівнюють нулю. При цьому штамп із зовнішніми кутовими точками буде працювати так само, як гладкий при посадці з нульовим зазором (рис. 5.7).

Рис. 5.7.

Для визначення граничного кута поступаємо так. Розв’язуємо систему (5.11) для заданого значення і фіксованого значення . Якщо при цьому контактні зусилля у всіх точках проміжку будуть від’ємними, то наступне значення вибираємо на проміжку , а у випадку появи додатних напружень – на проміжку . Найбільш ефективним є послідовний поділ проміжків або навпіл. Такий спосіб дозволяє визначити граничний кут контакту із наперед заданого точністю.