4.1. Передача моментного навантаження до нескінченної пластинки з криволінійним отвором

Нехай в криволінійний отвір виду (2.1) нескінченної ізотропної пластинки запресовано з натягом () жорсткий диск такої ж форми. В центрі диска прикладено пару сил з моментом _, внаслідок чого на лінії розділу матеріалів пластинки і диска виникають зони контакту і відставання (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Розрахункова схема задачі

Як і в попередньому розділі, розв’язок задачі полягає у визначенні кута повороту диска, величини зони контакту та напруженого стану на контурі отвору.

4.1.1. Вивід інтегральних рівнянь. Систему прямокутних координат вибираємо так, як показано на рис. 4.1. При цьому

;

,

де , – полярні кути граничних точок ділянки контакту . Всі інші ділянки одержуються поворотом заданої на кут .

Вирази для компонент вектора зміщення (2.14), (2.15) при заданому навантаженні запишемо у вигляді

(4.1)

Тут , – образи кутів , при відображенні (2.1).

В (4.1) враховано формулу

яка одержана в результаті інтегрування за частинами.

Для визначення сталих , використаємо співвідношення (4.1) і умову симетричності зміщень (3.1). З врахуванням властивостей функцій , (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Графіки зміни на проміжку

; (4.2)

отримаємо

. (4.3)

Підставивши (4.3) в (4.1), знаходимо

(4.4)

Граничні умови задачі при наявності тертя в зоні контакту мають вигляд (2.41).

Функції і подамо інтегральними співвідношеннями

;

. (4.5)

Підставляючи (4.1), (4.3), (4.5) в граничні умови (2.41), одержимо систему двох сингулярних інтегральних рівнянь з логарифмічними ядрами для знаходження ,

;

. (4.6)

Величину кута повороту диска знаходимо з умови його граничної рівноваги (2.40), яку можна подати у вигляді

. (4.7)

Якщо функції , будуть відомі, то величини , визначимо за формулою

. (4.8)

4.1.2. Наближений розв’язок задачі. Знаходження точного розв’язку системи (4.6)-(4.7) пов’язано з значними математичними труднощами, тому будемо шукати його наближено модифікованим методом Мультоппа-Каландія. Для цього зведемо систему (4.6)-(4.7) до стандартного вигляду з проміжком інтегрування [-1; 1]. Це можна зробити заміною змінних

; ;

; .

Тоді

; ;

;

. (4.9)

Із врахуванням залежностей (4.9) інтеграли, які входять у перше рівняння системи (4.6)-(4.7), можна записати так

.

Введенням заміни

, (4.10)

систему (4.6) – (4.7) перетворимо до вигляду

;

; ;

. (4.11)

При цьому формула (4.8) приймає вигляд

. (4.12)

Поклавши , , , одержимо вирази

; ;

, . (4.13)

Оскільки при наближенні до границь зони контакту контактні зусилля будуть зменшуватися до нуля (зона контакту при відсутності у диска кутових точок плавно переходить в зону відставання), тому на підставі (2.3), (4.12) розв’язок системи (4.11), обмежений на кінцях , , шукатимемо у вигляді

; ; , (4.14)

де – обмежені і регулярні на функції. Для них побудуємо інтерполяційні поліноми Лагранжа, вибравши за вузли інтерполяції корені полінома Чебишева другого роду порядку

(4.15)

Тут – число точок колокації; , , .

Використовуючи рівності

, (4.16)

запишемо квадратурні формули для особливих і регулярних інтегралів з (4.11)

;

;

, (4.17)

де , , .

Підставляючи формули (4.17) у систему (4.11) при конкретному і надаючи послідовно значень , а – відповідно , одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення сталих і величини . Контактні , і кільцеві зусилля визначаються за формулами (2.3), (2.4), (4.12).

Зауважимо, що межі зон контакту, тобто кути , , які фігурують в системі (4.6), (4.7), невідомі. Їх можна визначити, розв’язуючи систему (4.11), взявши в якості початкових наближень довільні значення , і кожного разу уточнюючи їх. Для цього на кожному кроці ітераційного процесу потрібно перевіряти значення в крайніх точках (на кінцях зони контакту) і, якщо ці значення додатні, то зону контакту звужують, в іншому разі – розширюють. Ітераційний процес продовжують доти, поки не буде досягнуто необхідної точності.

4.1.3. Контакт криволінійного отвору і жорсткого диска з кутовими точками. Допустимо, що в криволінійний отвір виду (2.1) запресовано з натягом абсолютно жорсткий диск, який має рівномірно розміщених по контуру однакових вирізів, що розділяють зону контакту (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Розрахункова схема задачі

В центрі диска прикладено пару сил з моментом . Визначення контактних зусиль в зоні запресовки та кута повороту диска зводиться до інтегрування системи (4.11).

Оскільки зона контакту розімкнена, то ця задача також розв’язується методом колокації.

В залежності від величини можна розглянути різні модифікації задачі. Нехай – натяг, при якому відбувається розмикання ділянки контакту лише в одній точці . Тоді до системи (4.11) необхідно приєднати умову рівності нулю в цій точці контактного тиску (3.14). Якщо , то зона контакту фіксована і співпадає з проміжком . Наближений розв’язок такої задачі, необмежений на торцях, шукаємо у вигляді

; ; . (4.18)

Тут – регулярні і обмежені при . Їх вибираємо у вигляді (4.15). При цьому формули для обчислення сингулярних і регулярних інтегралів, які входять в (4.11), з урахуванням (4.13) та квадратурної формули Гауса

,

запишуться так

; ;

; (4.19)