Розділ 2 основні рівняння плоскої задачі теорії пружності для масивних циліндричних тіл

У розділі систематизовано основні співвідношення плоскої задачі теорії пружності масивних циліндричних тіл у вигляді нескінченних ізотропних пластин з гладкими криволінійними отворами, які перебувають в умовах узагальненого плоского напруженого стану. Компоненти тензора деформації контурних точок подано інтегральними співвідношеннями з ядрами Гільберта через компоненти зовнішнього навантаження. Вони дають можливість формулювати граничні умови задач про контактну взаємодію циліндричних тіл з гладкими поверхнями. Аналогічні інтегральні співвідношення записано і для компонент вектора зміщення точок контуру отвору.

Побудовано уточнений варіант граничних умов задачі про контактну взаємодію нескінченної пластинки з криволінійним отвором і жорсткого диска при їх спряженні з нульовим зазором або натягом в профільних з’єднаннях для передачі обертального руху.

2.1. Ізотропна пластинка з криволінійним отвором

Допустимо, що криволінійний отвір нескінченної ізотропної пластинки товщиною обмежений гладким контуром у вигляді правильного  ‑ кутника із закругленими кутами (гіпотрохоїди). Сумістимо із серединною площиною пластинки комплексну площину . Систему прямокутних і полярних координат оберемо таким чином, щоб початок відліку співпадав з центром отвору, а полярна вісь співпадала з віссю абсцис.

Нехай раціональна функція

(2.1)

здійснює конформне відображення зовнішності одиничного кола () в площині на область, яку займає пластинка в комплексній площині . Тут – характерний розмір отвору (не обмежуючи загальності, вважаємо ); ; – параметр, який визначає відхилення форми многокутника від кола. При , функція (2.1) реалізує конформне відображення зовнішності еліпса в площині z на зовнішність ; при , – зовнішності трикутника із закругленими кутами; – – зовнішності чотирикутника із закругленими кутами.

Допустимо, що до контура або його частини прикладено нормальні та дотичні зусилля (рис. 2.1), де , – полярні кути торців ділянки .

Напружений стан на нескінченності обмежений і зводиться до рівномірно розподілених зусиль, що діють вздовж координатних осей.

Компоненти тензора деформації при заданому навантаженні визначаються співвідношеннями

(2.2)

Рис. 2.1. Схема навантаження пластинки

Тут введено позначення

; ;

; ; ; (2.3)

– відносна осьова пружна деформація контура отвору; – кут пружного повороту нормалі до нього; – дуга на контурі ; , – нормальна та дотична складові вектора зміщення контурних точок; – кут між нормаллю до контуру і віссю ; , – модуль Юнга і коефіцієнт Пуассона матеріалу пластинки; , – величини, що залежать від зовнішнього навантаження на пластинку. У випадку, коли на нескінченності пластинка розтягується рівномірно розподіленими зусиллями і , що діють в напрямках координатних осей , відповідно, їх можна подати у вигляді

, (2.4)

де

;

– головний вектор зусиль, прикладених до .

Компоненти напружено-деформованого стану на контурі отвору через величини , , , визначаються за формулами

; ;

; . (2.5)

Тут введено позначення , ; .

Кільцеві зусилля на контурі отвору знаходимо із співвідношення

. (2.6)

Для визначення компонентів вектора зміщення точок контура використаємо граничні умови першої і другої основних задач

; (2.7)

, (2.8)

де ; , – комплексні потенціали Мусхелішвілі; – модуль зсуву матеріалу пластинки; ; .

При заданому навантаженні на пластинку функції , мають таку структуру

; (2.9)

.

Тут , – гомоморфні в області функції; ; .

З врахуванням (2.9) граничну умову (2.7) подамо у вигляді

(2.10).

Помножимо (2.10) на і проінтегруємо по контуру . Використовуючи властивості інтегралів типу Коші і залежності (2.9), одержимо після певних перетворень

(2.11)

У результаті додавання граничних умов (2.7), (2.8) одержимо співвідношення для визначення компонент вектора зміщення контурних точок через функцію і компоненти контурного навантаження

. (2.12)

Застосовуючи до (2.11) формули Сохоцького-Племеля і підставляючи одержані результати в (2.12) з врахуванням співвідношення

, (2.13)

знаходимо

, (2.14)

де .

Формула (2.14) визначає компоненти вектора зміщення контуру з точністю до жорсткого зміщення пластинки.

Якщо напружено-деформований стан періодичний на з періодом , то сталі , визначаються із умов

, . (2.15)

При цьому величини , і , зв’язані залежністю

. (2.16)