9.5. Двосторонній розтяг нескінченної площини з еліптичним отвором

Нехай гладкий замкнутий контур , точки якого позначимо через , ділить площину на внутрішню скінчену область , яка залишається зліва при обході проти годинникової стрілки, і на зовнішню нескінченну область .

Якщо в області задана голоморфна функція , яка неперервна в , то має місце формула Коші

(9.78)

Якщо функція голоморфна в (включаючи нескінченно віддалену точку) і неперервна в , то формула Коші має вигляд

(9.79)

1. Перша основна задача для нескінченної площини з еліптичним отвором. Розглянемо нескінченну ізотропну площину з еліптичним отвором, яка перебуває в умовах рівномірного розтягу (стиску) взаємно перпендикулярними напруженнями і , прикладеними “на нескінченності”. Вважаємо, що напрямки дії напружень паралельні осям еліпса. Зовнішнє навантаження на контурі отвору відсутнє.

Систему прямокутних координат виберемо так, як показано на рис. 9.2.

Функція

(9.80)

при реалізує конформне відображення площини з круговим отвором на розглядувану площину з еліптичним отвором. Тут ; , – півосі еліпса; – ексцентриситет еліпса. Не порушуючи загальності, приймаємо .

При відсутності зовнішнього навантаження на контурі граничні умови (9.70) приймають вигляд

. (9.81)

Оскільки зовнішнє навантаження на пластинку зрівноважене, то компоненти головного вектора дорівнюють нулю і формули (9.77) запишуться так

; . (9.82)

Підставляючи (9.82) в (9.81), одержимо

. (9.83)

Для еліптичного отвору (9.80)

; ; ;

. (9.84)

Тому співвідношення (9.83) приймає вигляд

. (9.85)

Помножимо (9.85) на і проінтегруємо по контуру

. (9.86)

Функції , є граничними значеннями функцій , , які голоморфні в , тому на підставі (9.79) маємо при

; . (9.87)

Оскільки в області , тому функції , , , є граничними значеннями функцій , , , , які голоморфні в області . Використовуючи формулу (9.78), одержимо при

; ;

; . (9.88)

Підставляючи (9.87), (9.88) в (9.85), знаходимо

(9.89)

або з врахуванням (9.82)

. (9.90)

Для визначення перейдемо в (9.85) до спряжених величин

. (9.91)

Враховуючи в (9.91) співвідношення (9.89), одержимо після певних перетворень

. (9.92)

Помножимо (9.92) на і проінтегруємо по контуру . Враховуючи, що при , одержимо після обчислення відповідних інтегралів

. (9.93)

На підставі (9.82) визначаємо функцію

. (9.94)

Комплексні потенціали (9.90) і (9.94) повністю визначають розв’язок поставленої задачі. При цьому компоненти тензора напружень визначаються за формулами (9.71).

Якщо в (9.90), (9.94) покласти , то одержимо розв’язок задачі для пластинки з круговим отвором. При еліпс вироджується у відрізок довжиною 2.

Для прикладу визначимо компоненти тензора напружень на контурі отвору для точок якого .

За формулами (9.71), (9.90)

. (9.95)

Враховуючи, що на контурі отвору і позначення (9.57), із (9.95) знаходимо

. (9.96)

У випадку одностороннього розтягу площини в напрямку осі (; ) формула (9.96) запишеться у вигляді

. (9.97)

Найбільші напруження виникають у вершинах еліпса, які належать великій осі,

. (9.98)

Якщо прийняти , то еліптичний отвір вироджується в круговий, а формула (9.96) співпадає з відповідною формулою (8.86), яка одержана іншим способом.

2. Друга гранична задача для нескінченної площини з еліптичним отвором. Розглянемо попередню задачу при допущенні, що в еліптичний отвір пластинки вставлено абсолютно жорсткий диск і по всьому контуру спаяний з нею (рис. 9.3). При відсутності зміщень контуру () гранична умова (9.75) другої основної задачі приймає вигляд

(9.99)

або з врахуванням (9.82) запишеться так

. (9.100)

Рис. 9.3

Помножимо (9.100) на і проінтегруємо по контуру . З врахуванням (9.84), (9.87), (9.88) одержимо

. (9.101)

На підставі (9.82) функція має вигляд

. (9.102)

Для визначення перейдемо в (9.100) до спряжених величин

. (9.103)

Підставляючи в (9.103) вирази (9.84), (9.102), знаходимо після певних перетворень

. (9.104)

Поступаючи так, як і з співвідношенням (9.92), одержимо

. (9.105)

Враховуючи (9.82), визначаємо комплексний потенціал

. (9.106)

Компоненти напруженого стану в довільній точці площини через комплексні потенціали можна визначити за формулами (9.71).

Методом інтегралів типу Коші можна розв’язати ряд інших практично важливих задач плоскої теорії пружності.