Застосування функцій комплексної змінної до розв’язування задач плоскої теорії пружності

9.1. Комплексне подання функції напружень

При розв’язуванні багатьох задач теорії пружності перевага надається використанню функцій комплексної змінної.

Замість декартових координат , за незалежну змінну виберемо комплексну величину

, (9.1)

де .

Розглянемо довільну аналітичну функцію

. (9.2)

Якщо в (9.2) замінити на , то одержимо комплексно спряжену до функцію

. (9.3)

За означення похідної від складної функції

; . (9.4)

Диференціюючи (9.2) по , , одержимо з врахуванням (9.4)

;

. (9.5)

На підставі (9.5) знаходимо умови Коші-Рімана аналітичності функції

; . (9.6)

Диференціюючи ці умови по , , знаходимо

; . (9.7)

Таким чином дійсна і явна частина аналітичної функції є гармонічні функції. Традиційно їх називають спряженими.

Нехай деяка функція. Застосуємо оператор Лапласа до функції

. (9.8)

Якщо гармонічна функція

, (9.9)

то легко перевірити, що буде гармонічною функція

. (9.10)

Застосовуючи до (9.8) оператор Лапласа

, (9.11)

знаходимо, що – бігармонічна функція, якщо – гармонічна функція. Аналогічно можна показати, що – бігармонічна функція.

Розглянемо основне рівняння плоскої теорії пружності

. (9.12)

Позначимо через гармонічну функцію. Нехай – спряжена до гармонічна функція. Тоді за умовами Коші-Рімана

; . (9.13)

Розглянемо аналітичну функцію

. (9.14)

Інтеграл від цієї функції визначає іншу аналітичну функцію

. (9.15)

Тут , – спряжені гармонічні функції, для яких виконуються умови Коші-Рімана.

Враховуючи, що , одержимо

;

; . (9.16)

Введемо в розгляд функцію

, (9.17)

де – бігармонічна функція напружень.

Легко перевірити з використанням (9.10), (9.16), що функція гармонічна

.

Тоді функцію напружень, на підставі (9.17) подамо у вигляді

. (9.18)

Нехай гармонічна функція, спряжена до . Позначимо через аналітичну функцію

. (9.19)

Дійсна частина функції дорівнює правій частині (9.8). Тоді бігармонічну функцію напружень можна подати у вигляді

, (9.20)

де .

Формула (9.20) вперше була наведена в роботах Гурса.

9.2. Комплексне подання компонент тензора напружень і вектора зміщень

На підставі (7.31) закон Гука запишемо у вигляді

;

;

. (9.21)

Оскільки , то перші дві формули (9.21) можна подати так

; . (9.22)

Інтегруючи перше співвідношення (9.22) по , а друге – по , знаходимо після певних перетворень

; , (9.23)

де , – деякі функції від однієї змінної. Для визначення цих функцій використаємо третю умову (9.21)

,

з якої визначимо

або ; . (9.24)

Інтегруючи (9.24), знаходимо

; .

Останні співвідношення визначають жорстке зміщення тіла. Відкидаючи ці функції в (9.23) як такі, що не впливають на напружений стан (лінійні функції), одержимо

; (9.25)

або в комплексній формі

. (9.26)

Розглянемо формулу (9.20) і запишемо її в такому вигляді

. (9.27)

Диференціюючи (9.27) по , , одержимо

;

. (9.28)

Додаючи рівності (9.28), визначаємо

. (9.29)

Тут і надалі .

Підставляючи (9.29) в (9.26), знаходимо після певних перетворень

, (9.30)

де .

Для визначення компонент тензора напружень рівність (9.29) продиференціюємо по ,

;

. (9.31)

Із (9.31) складемо такі комбінації

;

. (9.32)

Замість другої формули (9.32) можна використати еквівалентне співвідношення

. (9.33)

Рис. 9.1

Таким чином компоненти тензора напружень (9.32), (9.33) і вектора зміщення (9.30) виражаються через дві аналітичні функції , , які називаються комплексними потенціалами Мусхелішвілі, а відповідні формули – формулами Колосова-Мусхелішвілі.

У випадку першої основної задачі, тобто коли на контурі області (рис. 9.1) задано зовнішні напруження , , граничні умови мають вигляд

; , (9.34)

де ; .

Враховуючи (7.30), співвідношення (9.34) запишемо так

;

або

; . (9.35)

Залежності (9.35) запишемо в комплексній формі

. (9.36)

Підставляючи в (9.36) співвідношення (9.29), знаходимо після інтегрування по контуру граничну умову першої основної задачі

, (9.37)

де – афікс точок контуру ; – довільна комплексна стала.

Якщо на контурі розглядуваної області задано зміщення його точок (друга основна задача), то на підставі (9.30) граничну умову можна подати у вигляді

, (9.38)

де ; – відомі функції на контурі .

У випадку мішаної задачі на одній частині контуру граничні умови мають вигляд (9.37), а на іншій – (9.38).