6.5. Основні рівняння в напруженнях

Система трьох диференціальних рівнянь рівноваги (6.3), яка містить шість шуканих функцій , має неоднозначний розв’язок.

Функції , які визначають дійсний напружений стан тіла, будучи статично можливими і зв’язаними законом Гука (6.5) з функціями , повинні задовольняти, як і функції , умовам сумісності. Очевидно, що ці умови можна одержати із диференціальних залежностей Сен-Венана (6.2) шляхом виключення функцій за допомогою закону Гука (6.5). Однак, ці рівняння значно простіше можна одержати із рівнянь Ламе (6.14), (6.15).

Диференціюючи (6.14) по змінній , одержимо

. (6.22)

Індекси та рівноправні, тому

. (6.23)

У результаті додавання (6.22), (6.23) знаходимо

. (6.24)

Продиференціювавши рівняння (6.15) відповідно по , , знаходимо після їх сумування

. (6.25)

Враховуючи, що ; ; , із (6.25) одержимо

. (6.26)

Використовуючи співвідношення

; , (6.27)

із (6.26) визначаємо

. (6.28)

На підставі (6.1) і (6.5) маємо

. (6.29)

Враховуючи (6.29), (6.27), рівняння (6.24) запишемо у вигляді

. (6.30)

Беручи до уваги (6.28), остаточно одержимо

. (6.31)

Ця рівність визначає шість співвідношень, які утворюють дві групи диференціальних залежностей між компонентами тензора напружень.

У задачах, які часто зустрічаються на практиці, об’ємні сили постійні або дорівнюють нулю. У цьому випадку рівняння (6.31) спрощується

(6.32)

і визначає встановлені в 1892р. Бельтрамі шість диференціальних співвідношень

; ;

; ; (6.33)

; .

Рівняння (6.31) були одержані Дж. Мічеллом в 1900р., тому вони називаються рівняннями Бельтрамі–Мічелла. Вони визначають умови сумісності, які виражені через компоненти тензора напружень .

Таким чином, при розв’язуванні прямої задачі у напруженнях спочатку визначаються шість функцій , які повинні задовольняти диференціальним рівнянням рівноваги (6.3), рівнянням Бельтрамі-Мічелла (6.32) і граничним умовам (6.6). На наступному етапі за функціями і законом Гука (6.5) визначаються функції . При цьому умови сумісності Сен-Венана будуть виконуватися тому інтегрування рівнянь (6.1) при визначенні функцій буде здійснюватися однозначно.

Додаючи перші три рівняння (6.33) при умові , знаходимо , тобто перший інваріант тензора напружень є (при відсутності об’ємних сил або коли вони сталі) гармонічна функція.

Застосовуючи до (6.32) оператор Лапласа, одержимо

. (6.34)

Якщо об’ємні сили відсутні або коли вони постійні, компоненти тензора напружень є бігармонічні функції.

6.6. Напівобернений метод Сен-Венана

Розв’язування прямої задачі теорії пружності як у зміщеннях, так і в напруженнях вимагає інтегрування складної системи диференціальних рівнянь у частинних похідних що, як правило, пов’язано зі значними математичними труднощами. Тому при розв’язуванні прямої задачі часто використовують наближені методи. У деяких випадках розв’язок можна ефективно одержати за допомогою так званого напівоберненого методу Сен-Венана.

Суть цього методу полягає у тому, що при розв’язуванні конкретної задачі, наприклад, у напруженнях задаються із міркувань фізичного характеру деякі компоненти тензора напружень, після чого визначаються решта компонент із рівнянь рівноваги (6.3) при виконанні умов сумісності Бельтрамі-Мічелла (6.30) або (6.32) і граничних умов (6.6).

Може виявитися, що зроблені допущення щодо деяких компонент тензора напружень будуть суперечити або умовам рівноваги, або граничним умовам, або умовам сумісності. У цих випадках необхідно зробити інші припущення про значення частини компонент , виходячи, наприклад, із відомих розв’язків аналогічних задач. У цьому розумінні напівобернений метод Сен-Венана є недосконалим. Однак, якщо зроблені припущення відносно деяких компонент тензора напружень або для деяких компонент вектора зміщення, коли задача розв’язується в зміщеннях, не суперечать всім основним рівнянням граничної задачі, то одержаний розв’язок буде точним і однозначним.