5.1. Узагальнений закон Гука

Співвідношення між компонентами тензора напружень і компонентами тензора деформації для певної моделі пружного суцільного середовища залежать від властивостей цього середовища, які встановлюються експериментально.

У випадку твердих тіл мають місце певні труднощі при експериментальному визначенні цих властивостей. Дійсно, зовсім неможливе безпосереднє вимірювання не тільки напружень, але й деформацій у внутрішніх точках твердого тіла. Порівняно просто з допомогою різних тензометрів експериментально можна визначити тільки середні значення відносних видовжень лінійних елементів на поверхні зразків, на які діє певного виду навантаження, рівнодійну якого можна виміряти з достатньою точністю.

Як відомо, найбільш легко здійснимими експериментами є випробування зразків при одновісному розтягу або стиску, а також випробування циліндричних зразків при крученні. Для цих найпростіших навантажень зразків їх робоча частина перебуває в умовах однорідних найпростіших напружених станів (одновісного розтягу або стиску і чистого зсуву).

Результати таких експериментів показують, що в певних межах зовнішнього навантаження для більшості твердих пружних тіл деформації пропорційні навантаженням. Ця закономірність відома як закон Гука.

Узагальнюючи результати багатьох експериментів, приходимо до узагальненого закону Гука, згідно з яким компоненти тензора напружень в кожній точці тіла є однорідними лінійними функціями компонент тензора деформації в цій же точці розглядуваного стану рівноваги тіла

;

;

; (5.1)

;

;

.

Величини () називаються пружними сталими матеріалу тіла у розглядуваній точці. З умов симетричності тензора напружень і тензора деформації випливає симетричність матриці ().

Таким чином, узагальнений закон Гука (5.1) містить 21 незалежну пружну сталу. У випадку однорідного пружного тіла в усіх точках. Якщо тіло однорідне і ізотропне, то величини не залежать від вибору точки і системи координат. У цьому розділі будемо розглядати лише однорідні й ізотропні тіла.

Зауважимо, що напруження визначають у точці , а деформації – у точці .

Допустимо (тимчасово), що координатні осі співпадають з головними осями тензора деформації. Тоді на підставі (3.37)

(5.2)

і три останні співвідношення (5.1) можна записати так

;

; (5.3)

.

Розглянемо перше співвідношення (5.3). Систему координат повернемо навколо осі на 180. У випадку однорідного та ізотропного тіла

; ; ; . (5.4)

Підставимо (5.4) у перше рівняння (5.3)

.

Остання рівність повинна виконуватися для всіх точок тіла, тому

. (5.5)

Здійснивши аналогічні перетворення з другим і третім співвідношеннями (5.3), одержимо

. (5.6)

Підставивши (5.5), (5.6) в (5.3), одержуємо

. (5.7)

На підставі (5.2), (5.6) приходимо до висновку, що головні осі тензора деформації співпадають з головними осями тензора напружень.

Розглянемо три перші співвідношення (5.1)

;

; (5.8)

.

Повернемо систему координат навколо осі на 90. У цьому випадку

; ; ; . (5.9)

Підставляючи (5.9) у перше співвідношення (5.8), одержимо

, або .

Тоді

. (5.10)

Ввівши позначення ; ; , із (5.10) одержимо

. (5.11)

Аналогічні залежності одержимо для інших співвідношень (5.8)

;

. (5.12)

На підставі (5.11), (5.12) закон Гука для нормальних напружень приймає вигляд

; ; . (5.13)

Для встановлення вигляду трьох останніх залежностей (5.1) поступимо так. Запишемо (5.13) для головних напружень і деформацій

; ; (5.14)

і розглянемо довільний вектор . Помножимо рівності (5.14) відповідно на , , і додамо

(5.15)

Співвідношення (5.15) можна розглядати як образ співвідношення

(5.16)

при переході від довільних до головних осей. В (5.16) враховано інваріантність величин

,

.

Порівнюючи в (5.16) коефіцієнти при однакових добутках змінних , , , одержимо

; ; ;

; ; , (5.17)

або в тензорному вигляді

, (5.18)

де – символ Кронекера.

Величини , називаються пружними сталими Ламе.

Як видно із (5.17), для ізотропного матеріалу закон Гука містить дві пружні сталі.

Для встановлення фізичного змісту пружних сталих допустимо, що всі компоненти тензора напружень, крім , дорівнюють нулю. Тоді, на підставі (5.17)

; ; . (5.19)

Враховуючи залежність , із (5.19) визначаємо

; . (5.20)

Введемо позначення:

; ; . (5.21)

Величина називається модулем поздовжньої деформації або модулем Юнга, – модулем зсуву, – коефіцієнтом поперечної деформації, або коефіцієнтом Пуассона (, , ).

Використовуючи (5.21), залежності (5.20) можна записати у вигляді

; . (5.22)

Як відомо з курсу опору матеріалів, технічні сталі , і зв’язані між собою співвідношенням

. (5.23)

При розв’язуванні окремих задач необхідно мати формули, які дозволяють безпосередньо визначити компоненти тензора деформації за відомими компонентами тензора напружень. Розв’язуючи лінійне рівняння (5.18) відносно , знаходимо

, (5.24)

де .

В технічних сталих , , співвідношення закону Гука (5.18), (5.24) запишуться так

; (5.25)

. (5.26)

РОЗДІЛ 6