§6. Плоска система сил.

Якщо всі сили, що діють на тверде тіло, розміщені в одній площині, то така система сил називається плоскою. Оскільки нам відомі алгоритми знаходження рівнодійної системи збіжних сил і системи двох паралельних сил, то при розв’язку першої задачі статики для плоскої системи сил необхідно знайти метод її зведення до одного центра. Такий метод визначає теорема: силу, прикладену до абсолютно твердого тіла, можна, не змінюючи тіло, перенести паралельно їй самій в довільну точку тіла, додаючи при цьому пару сил з моментом, рівним моменту заданої сили відносно нової точки прикладання.

Доведення. Нехай, сила прикладена в точці А твердого тіла (мал. 1.32а).

Виберемо довільну точку В і прикладемо в ній зрівноважену систему сил (,) таких, що =. Здобута система трьох сил являє собою силу , прикладену в точці В, і пару сил (,) з моментом m=M_B(). Отриманий результат можна зобразити так, як показано на мал.1.32б. (силу на цьому малюнку слід вважати відкинутою).

6.1. Зведення плоскої системи сил до найпростішого виду. Нехай на тверде тіло діє система сил , ,...., , розміщених в одній площині і прикладених відповідно в точках А₁, А₂,....., А_n. Виберемо на цій площині довільно точку О, яку назвемо центром зведення. Використовуючи теорему про паралельне перенесення сили, зведемо всі задані сили в точку О. В результаті цього на тіло буде діяти збіжна система сил

з центром в точці О і система пар з моментами (мал. 1.33).

m₁=M_O(), m₂=M_O(),…, m_n=M_O().

Збіжну систему сил замінимо однією силою

, (1.21)

а систему пар однією парою, момент якої визначається рівністю (1.22)

Величина дорівнює геометричній сумі всіх сил системи і називається головним вектором; величина М_О — головним моментом системи сил. Головний момент дорівнює сумі моментів всіх заданих сил відносно центра О.

Виходячи з вищесказаного, розв’язок першої задачі статики для плоскої системи сил подаємо так: довільна плоска система сил, що діє на АТТ, може бути зведена до однієї сили (головного вектора) і однієї пари (головного момента).

Відзначимо, що головний вектор не залежить від вибору центра і може бути знайдений за формулою (1.21) аналітично або геометрично побудовою силового многокутника. Величини М_О визначається формулою (1.22) і залежить від вибору точки О. Приведений вище метод зведення плоскої системи сил до одного центра називається методом Пуансон.

Розглянемо часткові випадки розв’язку першої задачі статики для плоскої системи сил.

1. . Так як , то силовий многокутник , побудований на заданих силах, замкнений. У цьому випадку задана система сил еквівалентна одній парі з моментом М_О. Якщо змінити центр зведення на іншу точку О₁, то момент М_О1 рівнодійної пари знову дорівнює М₀. Якщо допустити протилежне , то це означало б, що дві пари, еквівалентні одній і тій же системі сил, не еквівалентні між собою. А це неможливо.

2. . Це означає, що система сил еквівалентна одній силі , яка прикладена в точці О. цю систему тепер слід називати не результуючою, а рівнодійною. Отже, якщо головний вектор відмінний від нуля, а головний момент заданих сил відносно точки О дорівнює нулю, то система сил еквівалентна рівнодійній, лінія дії якої проходить через точку О. в даному випадку має місце теорема Варіньона:

Якщо плоска система сил має рівнодійну, то її момент відносно будь-якої точки дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх сил заданої системи відносно цієї точки.

(1.23)

Точне доведення даної теореми буде приведено при вивченні просторової системи сил.

3. . В цьому випадку пару з моментом М₀ можна зобразити двома силами і , вибираючи =, а =- (мал. 1.34). При цьому повинна виконуватись умова

(1.24)

Відкинувши зрівноважену систему сил (, ), знаходимо, що система сил замінена однією рівнодійною =, яка проходить через точку С. Її положення однозначно визначається рівністю (1.24) і знаком момента М₀.

Розглянуті випадки показують, що довільна плоска система сил, яка не перебуває у рівновазі, може бути зведена до однієї сили (рівнодійної), або однієї пари.

6.2. Умови рівноваги плоскої системи сил. Для рівноваги плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб одночасно виконувалися умови

(1.25)

Враховуючи рівності (1.21), (1.22) і властивості проекцій сил на координатні осі, дістанемо

(1.26)

Рівності (1.26) виражають алгебраїчні умови рівноваги в основній формі: для рівноваги довільної плоскої системи необхідно і достатньо, щоб суми проекцій всіх сил на координатні осі і сума їх моментів відносно будь-якого центра, розміщеного в площині дії сил, дорівнювали нулю. По механічному змісту перші дві умови (1.26) виражають відсутність переміщень твердого тіла вздовж координатних осей, а третя — відсутність обертання в площині дії сил.

Крім основної форми рівноваги (1.26) на практиці широко використовуються і інші, еквівалентні основній, форми рівноваги плоскої системи сил, які ми приводимо без доведення.

Друга форма умов рівноваги: для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб суми моментів всіх сил відносно будь-яких двох різних точок А, В і сума їх проекцій на вісь х, не перпендикулярну до АВ, дорівнювали нулю

(1.27)

Третя форма умов рівноваги: для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб суми моментів відносно будь-яких трьох не колінеарних точок А, В, і С дорівнювали нулю:

(1.28)

Із умов (1.26) — (1.27) можна одержати відповідні умови рівноваги системи паралельних сил на площині. Якщо допустити, що всі сили, які діють на тіло, паралельні осі У (мал. 1.35), то перша рівність в (1.26) і остання в (1.27) перетворяться в тотожності виду . В результаті умови рівноваги системи паралельних сил приймуть вид:

Основна форма умов рівноваги:

(1.29)

Друга форма умов рівноваги

(1.30)

При цьому точки А і В не повинні належати прямій, паралельній силам.

Умови рівноваги важеля. Важелем будемо називати тверде тіло, яке може обертатися навколо нерухомої осі під дією сил , ,...., , розміщених в площині, перпендикулярній осі обертання (мал. 1.36).

Найпростішими є важелі першого і другого роду. Розглядаючи рівновагу важеля, додамо до заданих сил складові реакцій циліндричного шарніра і . Умови рівноваги плоскої системи сил виду (1.26) приймуть вигляд

(1.31)

Перші дві рівності (1.31) служать для визначення реакцій , , а остання не містить невідомих сил, тому є умовою рівноваги важеля.

6.2. Рівновага системи твердих тіл. Статичний розрахунок інженерних споруд в багатьох випадках зводиться до розгляду умов рівноваги конструкції, яка складається із системи твердих тіл, з’єднаних між собою певними в’язами, які ми будемо називати внутрішніми. Ці в’язі є складовими частинами конструкції. Метод розв’язку таких задач полягає в тому, що конструкцію розчленяють на окремі тіла і складають умови рівноваги для кожного з них, розглядаючи їх як вільні. При цьому реакції внутрішніх в’язей будуть попарно рівні по величині і протилежні за напрямком.

Приклад 3. Кронштейн складається із двох стержнів АВ і ВС, з’єднаних в точці В і прикріплених до вертикальної стінки в точках А, С шарнірно. Вага стержня АВ-Р₁=150Н, а стержня ВС-Р₂=120Н. в точці В прикладена сила Р=300Н. розміри показані на малюнку. Визначити реакції шарнірів А і С, вважаючи стержні однорідними (мал. 1.37).

Розв’язування. Відкинемо в’язі, замінивши їх дію невідомими реакціям, і розглянемо рівновагу кронштейна в цілому під дією сил , , , , , , .

Запишемо умови рівноваги плоскої системи сил

; ;

.

Отримані три рівняння містять чотири невідомих , , , . Для розв’язку задачі використаємо той факт, що при рівновазі кронштейна в цілому, зрівноваженими будуть кожен стержень окремо. Записавши моменту умову рівноваги відносно шарніра В (щоб не ввійшли реакції в точці В) для стержня АВ, знайдемо

.

Розв’язуючи систему чотирьох рівнянь, знаходимо

;

;

В приведеній задачі ми не розчленили кронштейн на 2 тіла, бо не потрібно було визначати реакції в шарнірі В.