§8. Cкладний опір стержнів

Як уже відзначалося вище, при дії на стержень просторової систе­ми сил в кожному його перерізі виникає шість внутрішніх силових фак­торів (), зображених на мал.215.

Простому опору стержня відповідали прості види деформації: якщо відмінна від нуля лише сила — то розтяг або стиск; при наявності та — зсув; при наявності лише — кручення; якщо лише або — то чистий згин.

При певних видах навантаження в стержні виникають складні деформації, що являють собою сукупність усіх чотирьох простих або їх комбінацій.

Напруження i переміщення при складному спорі визначаються на основі принципу незалежності дії сил, як алгебраїчна або геометрична сума напружень чи деформацій від кожного силового фактора окремо. У більшості випадків впливом поперечних сил та нехтують.

8.1. Косий згин. Якщо силова площина не збігається з жодною із головних площин інерції балки, то такий випадок називається косим. Нехай в довільному перерізі балки діє згинаючий момент М. Розкладемо його на дві складові і , що діють в головних площинах. Це дає змогу представити косий згин балки як сукупність двох прямих згинів в головних площинах.

Нормальні напруження в довільній точці знаходимо як суму напружень від моментів і за формулою (2.54)

. (2.71)

Знак кожного з доданків залежить від того, яке напруження — розтягуюче чи стискуюче — викликає кожний з моментів в розглядуваній точці.

Якщо переріз має симетричну форму (прямокутник, двотавр), то найбільші напруження виникають в кутових точках. На мал.2.60 такими є точки В і С, в яких від кожного момента виникають, напруження одного знаку. Умову міц­ності в таких точках, згідно з (2.58), можна записати у вигляді

(2.72)

Для знаходження найбільш напружених точок перері­зу довільної форми не­обхідно спочатку визначи­ти положення нейтральної лінії. Її рівняння діста­немо з (2.71), поклавши

. (2.73)

Оскільки ліва частина (2.73) являє собою вираз першого степеня віднос­но х, у, то нейтральна лінія є пряма, що проходить через центр ваги перерізу (початок координат). Її положення визначається кутовим коефіцієнтом , де — кут нахилу нейтральної лінії до осі x (2.61)

З рівняння (2.72) маємо

. (2.74)

З Іншого боку

. (2.75)

Підставляючи (2.75) в (2.74), знаходимо

. (2.76)

З цієї рівності випливає, що положення нейтральної лінії залежить від геометрії поперечного перерізу () і від положення силової лі­нії (). Знак «-» показує, що кутові коефіцієнти сило­вої та нейтральної ліній — різних знаків. Це означає, що нейтральна лі­нія проходить через квадранти перерізу, в яких моменти і ви­кликають напруження різних знаків.

При кут не дорівнює куту , тобто силова лінія не перпендикулярна до нейтральної лінії, як це було при прямому згині. В окремих перерізах (квадрат, круг), , тому ней­тральна лінія перпендикулярна до силової площини і косий згин неможливий.

Якщо положення нейтральної лінії буде відоме, то найбільш напруженими будуть точки максимально віддалені від неї. Знаючи їх координати, відповідні напруження можна визначити за формулою (2.71). Тоді умови міцності в точках і приймуть вигляд

;

. (2.77)

Практичний розрахунок балки у випадку косого згину може бути реалізований за такою схемою: 1) Задане навантаження розкладається на складові, що діють в головних площинах балки. 2) Будуються епюри згинаючих моментів і в кожній з головних площин і визначаються значення і в небезпечному перерізі. 3) Визначається положення небезпечних точок в перерізі і записуються умови міцності типу (2.72) або (2.77). ЦІ умови використовуються як для перевірки на міцність, так і для вибору перерізу.

Задача про визначення прогинів балки при косому згині зводиться що визначення прогинів при прямому згині в двох головних площинах.

Якщо відомі переміщення осі балки в напрямках головних осей , , то повне переміщення визначається як геометрична сума складових

. (2.78)

Повне переміщення в будь-якому перерізі відбувається в напрямку, перпендикулярному до нейтральної лінії. Це означає, що при косому зги­ні площина прогинів не збігається з силовою площиною.

8.2. Згин з розтягом (стиском). Нехай від дії зовнішнього наван­таження в поперечному перерізі стержня виникають три силові фактори , , (мал.2.62).

Згідно з принципом незалежності дії сил, напруження в довільній точці з координатами х і у визначаються за формулою

, (2.79)

де S — площа поперечного перерізу стержня.

Знак кожного з доданків залежить від того, якого знаку напруження в даній точці викликає кожен силовий фактор.

Визначаємо рівняння нейтральної лінії перерізу, поклавши в (2.79)

. (2.80)

Рівняння (2.80) має перший порядок відносно змінних х і у і визначає пряму, яка не проходить через початок координат (центр ваги перерізу). Її положення визначається двома відрізка і , що відсікаються нею на осях.

Поклавши в (2.80) ; , знаходимо

(2.81)

Аналогічно визначаємо поклавши в (2.80) , .

(2.82)

формули (2.81), (2.82) показують, що положення нейтральної лінії залежить від геометрії поперечного перерізу (, ) і зовнішнього навантаження (, , ). В залежності від цих величин нейтральна лінія може, знаходитись в межах перерізу (тоді вона поділяє його на розтягнуту і стиснуту частини) і може бути за межами перерізу. В останньому випадку напруження у всіх точках перерізу мають один знак.

Після побудови нейтральної лінії знаходять найбільш віддалені від неї точки (на мал.2.62 точки , ), в яких виникають максимальні напруження. Умови міцності для цих точок мають вигляд

;

. (2.83)

Якщо наперед відомо, що найбільшим є розтягуюче напруження, то достатньо порівняти з допустимим лише це напруження. Якщо всі напру­ження мають один знак (нейтральна лінія розміщена за межами перерізу), то з двох крайніх точок перевіряють на міцність лише одну — найбільш віддалену від нейтральної лінії.

Практичний розрахунок балок при згині з розтягом (стиском) про­водиться за такою самою схемою, як і у випадку косого згину.

Повне переміщення точок осі балки визначається як геометрична сума прогинів , в напрямках головних осей перерізу і переміщення перерізу в напрямку осі балки

. (2.84)

8.3. Згин зі крученням круглого стержня. Згин з крученням являє собою окремий випадок складного опору, коли стержень перебуває під дією згинаючого момента і крутячого момента. Найбільші до­тичні напруження від крутячого моменту діють в кожній точці на контурі перерізу, а найбільші нормальні напруження від згинаючого момента — лише в двох діаметрально протилежних точках і (мал.2.63). Ці точки будуть найбільш напруженими, а отже, і найбільш небезпечни­ми. Максимальні напруження в них визначаються за формулами

; (2.85)

д е — осьовий момент опору круглого перерізу.

На відміну від розглянутих випадків складного опору, при згині з крученням напружений стан в небезпечних точках не можна розглядати як лінійний.

Виділимо в околі точки елемент матеріалу (мал.2.63). Він перебуває в умовах плоского напруженого стану тому перевірку на міцність необхідно виконувати, користуючись відповідними теоріями міцності. При цьому головні напруження визначаються за формулами (2.57).

Оскільки дотичними напруженнями не можна знехтувати, то перша теорія міцності немає змісту.

Згідно з другою теорією, умова міцності (2.22) при , приймає вигляд

(2.86)

В третій теорії міцності умова (2.23) запишеться так:

. (2.87)

За четвертою теорією міцності розрахункова формула (2.24) запишеться у вигляді

. (2.88)

Замінюючи в (2.86) — (2.88) величини і їх значеннями із (2.85) і враховуючи, що для круглого перерізу , дістанемо умову міцності при згині з крученням

(2.89)

де — розрахунковий момент, який визначається у відповідності з вибраною теорією міцності:

за другою теорією ;

за третьою теорією (2.90)

за четвертою теорією .

Нерівність (2.89).має такий самий вигляд, як і при згині балок.

Оскільки при крученні стержня його вісь залишається прямоліній­ною, то його повний прогин може бути визначений за формулою (2.78).