Задание № 8-5.

1.Найти ранг матриц с помощью элементарных преобразований:

2.Вычислить ранг следующих матриц:

а)  б) в)

3.Найти ранг матрицы при различных значениях параметра :

 

4.Пусть А - (mxn)-матрица и В - (mx(n+k))-матрица, получающаяся из матрицы А приписыванием k новых столбцов. Докажите, что:

а)Если строки матрицы В линейно зависимы, то и строки матрицы А линейно зависимы.

б)Ранг матрицы А не превосходит ранга матрицы В.

 Ответы

1а. 3. 1б. 3. 1в. 4.

2а. 3. 3. 3 при   = 1, при   = 2.

2б. 4.

2в. 3. 4. Док-во.

Задание 9-1.

 1.Перемножить матрицы:

2.Вычислить выражения:

3.Решить систему уравнений: 

4.Решить уравнение:

5.Найти обратные матрицы к матрицам:

6.Найти все матрицы, коммутативные с матрицей

7.Найти общее решение и фундаментальную систему решений систем уравнений:

а)  х₁ + х₂  2х₃ + 2х₄ = 0; б) (1i)x₁ + x₂ + x₃ + x₄ =0;

3х₁ + 5х₂ + 6х₃  4х₄ = 0; ix₂  ix₃ = 0;

4х₁ + 5х₂  2х₃ + 3х₄ = 0; (1i)x₁ + x₃ + x₄ = 0.

3х₁ + 8х₂ + 24х₃  19х₄ = 0;

Ответы.

 1-1.   2a. чет. 4. Реш. нет.

    неч. 5а. 

2. 2б. 5б.      

1-3. 2в. 5в. 

1-4. 3. X =   6.  

7a. ФСР: (4, 6, 1, 0); (7, 5, 0,1); общ. реш: х₁ = 8С₁  7С₂; х₂ = 6С₁ + +5С₂; х₃ = С₁; х₄ = С₂.

7б. ФСР: (x₁ = 1/2(1i), 0, 0, 1); общ. реш. х₁ = 1/2(1i)С₁, x₂ = x₃ = 0, х₄ = С₁.

Задание 102.

1.Выполнить деление с остатком многочленов f(x) на g(x):

а) f(x) = x³  3x²  x  1, g(x) = 3x²  2x + 1;

б) f(x) = 2x⁵  5x³ + 8x, g(x) = x + 3.

2.При каком условии полином х⁴ + px² + q делится на полином вида х² + mx + 1?

3.Подобрать такие многочлены u(x) и v(x), что f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1:

f(x) = x⁴  x³  4x² + 4x + 1, g(x) = x²  x  1.

4.Найти наибольший общий делитель многочленов:

а) х⁶ + 2х⁴  4х³  3х² + 8х  5 и х⁵ + х²  х + 1,

б) х⁴  4х³ + 1 и х³  3х² + 1.

5.Найти наибольший общий делитель полинома и его производной: f(x)=(x1)³(x+1)²(x3).

6.Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать полиномы М₁(х) и

М₂(х) так, чтобы f₁(x)M₂(x) + f₂(x)M₁(x) = (x), где (x)  наибольший общий делитель f₁(x) и f₂(x): f₁(x) = x⁵ + 3x⁴ + x³ + x² + 3x + 1,

f₂(x) = x⁴ + 2x³ + x + 2 .

Ответы .

1а. 1/9(3x7), 1/9(26x+2). 4a. х³  x + 1.

1б. (2x⁴  6x³ + 13x²  39x + 4б. x²  2x  1.

+ 125)(x + 3)  375. 5. (x1)² (x + 1).

2. 1) q = p  1, m=0, 6. f₁(x) + (x + 1)f₂(x) = x³ + 1.

2) q = 1, m = .

3. U(x) = x  1, V(x) = x³ + x²  3x  2.

Задание № 111

Разложить на неприводимые множители над полем С или полем

вещественных чисел многочлены:

1. х⁶  15х⁴ + 8х³ + 51х²  72х + 27,   2.  х ³  6х² + 11х  6,

3. х¹² + х⁸ + х⁴ + 1,  5  0 4. х⁴ + 4.

Ответы

1. (x  1)³(x + 3)³(x  3).

2. (x  1)(x  2)(x  3).

3. (x² + x+ 1)(x²  x+ 1)(x² + x+ 1)(x² 

x+ 1)(x² + x  + 1)(x²  x+ 1).

4. (x²+ 2x + 2)(x²  2x + 2).

Задание № 123.

1.Пользуясь схемой Горнера, разложить полином f(x) по степеням х  х₀:

a) f(x) = x⁴  8x³ + 24x²  50x + 90,

б) f(x) = 3x⁵ + x⁴  19x²  13x  10, x₀ = 2.

2.Отделить кратные множители полиномов:

1. f(x)=x⁶  15x⁴ + 8x³ + 51x²  72x + 27,

2. f(x) = x⁶  6x⁴  20x²  15x  4.

3.Построить полином наименьшей степени по данной таблице

значений: x   1 9/4 4 25/4

f(x)  1 3/2 2 5/2.