Задание № 1-1.

1. Вычислить выражения:

2. Вычислить i³⁸.

3. Решить систему: (1 + i)z₁ + (1  i)z₂ = 1+i,

(1  i)z₁ + (1 + i)z₂ = 1+3i .

4. Доказать, что комплексное число z является вещественным тогда

и только тогда, когда

5. Найти комплексные числа, сопряженные своему квадрату.

6. Найти тригонометрическую форму чисел:

7. Вычислить выражения:

  8. Вычислить

Ответы

1а. 15+15i; 5. 1) 0, 2) 1, 3) 7. a) (-2)³⁰, b) 64.

1б. 1; 6. 8. a²  ab + b².

Задание № 2-2.

1. Вычислить:

2. Составить таблицу умножения для группы корней 6-ой степени из 1.

3. Выписать все корни из 1 и указать первообразные для степеней 3 и 12.

4. Решить уравнение:

Ответы.

1а. 3. № 1, 2, №1, 5, 7, 11.

1б.

1в. . 4.

1г.

Задание № 3-2 .

1. Решить системы уравнений методом Гаусса:

а) б)

в) г)

д) е)

2. Исследовать системы и найти общее решение в зависимости от параметров:

а) б)

в) г)

Ответы.

1а. x₁ = 2, x₂ = 1, x₃ = 3, x₄ = 1. 1г. Решений нет.

1б. Решений нет. 1д. х₁ = 8, x₂ = 3 + x₄, x₃ = 6 + 2x₄.

1в. x₁ = x₂, x₃ = x₄ = 0. 1e. x₁ = 2, x₂ = x₃ = x₄ = 1.

2a.    0:  система несовместна.

 = 0:

2б.   = 0,  = 3:  система несовместна,

  0,   3: 4  

2в. При любых значениях параметров только нулевое решение.

2г. При a  b  c:

Если есть пара равных: a=b, но a  c, d = a или d = с (или другие сочетания), то решение зависит от одного параметра.

При a = b = c = d решение зависит от двух параметров. В других случаях решений нет.

Задание № 4-5.

1. Вычислить определители:

.

2. Пользуясь теоремой Крамера, решить системы:

3. Перемножить перестановки в указанном и обратном порядке.

4. Найти перестановку x из равенства Ах = В, где

.

5. Определить число инверсий в последовательностях:

а) 2, 3, 5, 4, 1; б) 6, 3, 1, 2, 5, 4; в) k, k+1, . . . , n, k-1, k-2, . . . , 2, 1.

6. Определить четность перестановок:

7. С каким знаком в определитель 6-го порядка входят произведения:

8. Какие значения должны принимать i и k, чтобы произведение

входило в определитель 9-го порядка со знаком “+“ ?, со знаком “-“ ?

9. Пользуясь определением, вычислить определитель:

.

Ответы

1а. 0. 1б. 0. 1в. 2. 1г. 40. 1д. a³ + b³ + c³  3abc. 1е. 0.

2а. x = cos cos, y = cos sin. 2б. x = 1, y = 2, z = 1. 2в. x₁ = 3, x₂ = 4, x₃ = 5.

3a. 3б. 3в. 4. 5a. 5. 5б. 8. 5в. (k  1)(n  k) + 1/2(k  1)(k  2).

6а. +(четн). 6б. +(четн). 6в. 1/2(n + 1). 7a. +. 7б. +.

8. i = 5, k = 8 , i = 8, k = 5 +. 9. abcd.