§48. Векторные диаграммы

Векторный метод изображения синусоидально изменяющихся величин. При изучении процессов, происходящих в цепях переменного тока, удобно пользоваться методом векторного изображения синусоидально изменяющихся величин. Этот метод основан на том, что при вращении некоторого вектора OA (рис. 170, а) с равномерной угловой скоростью ? проекция ОВ этого вектора на неподвижную вертикальную ось у — у пропорциональна синусу угла ?t, образованного вектором OA с горизонтальной осью х — х, т. е. ОВ = ОА sin ?t. Следовательно, кривая, выражающая зависимость длины проекции ОВ от угла ?t за один оборот вектора OA, будет представлять собой синусоиду (рис. 170,б). Если в качестве длины (модуля) вектора принять амплитудное значение переменного тока Im, то полученная кривая будет представлять собой графическое изображение изменения мгновенного значения тока I от угла ?t. При ?t = 0 (точка 1) вектор OA будет расположен горизонтально и i = 0; при ?t = 90° (точка 2) вектор OA расположен вертикально вверх и i = I_т при ?t =180° (точка 3) вектор OA также расположен горизонтально и i = 0; при ?t = 270° (точка 4)

Рис. 170. Изображение синусоидально изменяющегося тока: а — вращающимся вектором; б — в виде кривой

вектор OA расположен вертикально вниз и i=—I_т (проекции ОВ вектора OA, расположенные выше точки 0, будем считать положительными, а расположенные ниже этой точки — отрицательными). Точкам 1—4 на рис. 170, а при различных положениях вращающегося вектора OA соответствуют точки 1—4 на кривой изменения тока i (см. рис. 170,б). Направление вращения векторов условно принимают против часовой стрелки, поэтому углы ?t, которые отсчитывают в направлении вращения векторов, считают положительными, а против этого направления — отрицательными.

В случае если требуется получить векторное изображение нескольких синусоидально изменяющихся величин, например двух токов i₁ и i₂, чертят два вращающихся вектора ОА₁ и ОА₂ (рис. 171, а) с различными модулями 1_т1 и 1_т2

Если в момент начала отсчета синусоидально изменяющаяся величина не равна нулю, а имеет некоторое значение I_т sin ?₁ (рис. 171,б), то вектор ОА₁ в начальный момент при фазе ?t = 0 образует с горизонтальной осью некоторый угол ?₁ Этот угол называется начальным фазным углом, или начальной фазой. Разность начальных фаз синусоидально изменяющихся величин называют сдвигом фаз, или углом сдвига фаз. Например, синусоида

Рис. 171. Изображение двух синусоидально изменяющихся токов: а — вращающимися векторами; б — в виде кривых

тока i₁ имеет начальную фазу ?₁, а синусоида тока i₂— начальную фазу ?₂ Следовательно, токи i₁ и i₂ сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол ? = ?₁ — ?₂. Это означает, что каждая точка синусоиды тока i₁ сдвинута относительно соответствующей точки синусоиды тока i₂ на угол ?. При векторном изображении токов i₁ и i₂ сдвиг фаз между ними выражается в виде угла ? между векторами ОА₁ и ОА₂.

Из. рис. 171,а и б видно, что вектор OА₂ при своем вращении идет впереди вектора ОА₁, т. е. ток i₂ при своем изменении достигает нулевых и максимальных значений раньше, чем ток i₁. Следовательно, ток i₂ опережает по фазе ток i₁ на угол ?. Можно также считать, что ток i₁ отстает от тока i₂ на угол ?. Если же две синусоидально изменяющиеся величины, например токи i₁ и i₂, одновременно проходят через нулевые и максимальные значения, то говорят, что они совпадают по фазе. В этом случае они изображаются двумя совпадающими по направлению векторами (? = 0). Векторы, изображающие синусоидально изменяющиеся токи, напряжения и э. д. с, обозначаются соответствующими буквами с точкой над обозначением, например, ?, ?, ?.

Построение векторных диаграмм. Векторные диаграммы представляют собой совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся величины, действующие в данной электрической цепи. Они позволяют упростить расчет цепей синусоидального тока и сделать его наглядным, применив вместо алгебраического сложения или вычитания мгновенных значений синусоидально изменяющихся токов, напряжений или э. д. с сложение или вычитание их векторов. Обычно при расчете электрических цепей переменного тока нас не интересуют мгновенные значения токов, напряжений и э. д. с, требуется определить только их действующие значения и сдвиг по фазе относительно друг друга. Поэтому при построении векторных диаграмм рассматривают неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирают так, чтобы диаграмма была наглядной. В качестве модулей векторов принимают действующие значения соответствующих величин. Это обусловливает лишь уменьшение длины всех векторов по сравнению с длиной, принятой на рис. 170 и 171, в ?2 раз; все же углы между векторами остаются при этом неизменными.

Рассмотрим в качестве примера построение векторной диаграммы для действующих значений токов i₁, i₂ и i (рис. 172), причем согласно первому закону Кирхгофа ток i равен сумме токов i₁ и i₂. Токи i₁ и i₂ имеют различные амплитудные, а следовательно, и действующие значения и сдвинуты относительно друг друга на некоторый угол ?. Путем суммирования ординат синусоид i₁ и i₂ можно получить кривую тока i, определить по ней амплитудное значение I_т, а затем и действующее значение I = I_т / ?2.

Однако более удобно определять действующее значение тока i путем сложения векторов токов i₁ и i₂ согласно формуле

? = ?₁ + ?₂

Рис. 172. Графическое сложение двух переменных токов

Рис. 173. Векторное сложение и вычитание двух переменных токов

Сложение векторов осуществляется по правилу параллелограмма или треугольника. В первом случае (рис. 173,а) строят параллелограмм ABCD со сторонами, образованными векторами ?₁ и ?₂. Вектор ?₁ направляют, например, горизонтально (можно начертить этот вектор и в любом другом положении), вектор ?₂ — под углом ? к вектору ?₁. Угол ? на векторной диаграмме отсчитывают от вектора ?₁ по часовой стрелке, так как для рассматриваемого случая ток i₂ отстает от тока i₁ на угол ?. Диагональ АС векторной диаграммы дает нам суммарный вектор результирующего тока ?. Во втором случае (рис. 173,б) строят треугольник ABC со сторонами АВ и ВС, равными соответствующим векторам ?₁ и ?₂ получают суммарный вектор ? в виде гипотенузы АС этого треугольника.

Вычитание векторов двух синусоидально изменяющихся величин можно представить в виде сложения одного вектора с другим вектором, взятым с обратным знаком. Например, если известны токи i и i₁ (см. рис. 172), то действующее значение тока i₂ можно получить вычитанием из вектора ? вектора ?₁, т. е. ?₂ = ? — ?₁ = ? + ( —?₁). Вектор -?₁ имеет такой же модуль, что и вектор +?₁, но направлен противоположно. Следовательно, операцию вычитания векторов ? и ?₁ можно осуществить с помощью векторных диаграмм (рис. 173, в и г).