1.5. Примеры уравнений кривых в полярных координатах

Уравнения некоторых кривых в полярных координатах выглядят значительно проще, чем в декартовой системе координат. Приведем примеры (для простоты на всех рисунках предполагается, что параметр а положителен).

Окружность или Рис. 8	Кардиоида Рис. 9
Спираль Архимеда Рис. 10	Лемниската Бернулли Рис. 11

1.6. Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнения прямой

■ Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если прямая не параллельна оси Оу, то ее уравнение можно записать в виде

.

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; в нем , а b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

При имеем – уравнение прямой, проходящей через начало координат.

■ Общее уравнение прямой. Любая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными и обратно: каждое уравнение первой степени

(где А и В не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. В отличие от уравнения оно может определять всевозможные прямые на плоскости без исключения.

Частные случаи.

а) при прямая проходит через начало координат;

б) при уравнение примет вид – прямая параллельна оси Ох (в частности, – уравнение самой оси Ох);

в) при уравнение примет вид – прямая параллельна оси Оу (в частности, – уравнение самой оси Оу).

Из общего уравнения прямой при можно получить уравнение , т.е. уравнение прямой с угловым коэффициентом .

2) подставляем в левую часть нормального уравнения прямой координаты , данной точки М.

Тогда искомое расстояние равно абсолютной величине полученного при этом числа h.

Замечание. Если , т.е. если прямая не проходит через начало координат, то при точка М и начало координат лежат по одну сторону от данной прямой, а при – по разные стороны (при , очевидно, точка М лежит на прямой).

Пример __. Найти расстояние от точки до прямой .

Решение. Нормальное уравнение прямой имеет вид , поэтому .

Ответ: искомое расстояние равно .

1.7. Пучок прямых. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

■ Пучок прямых. Через заданную точку можно провести бесконечное множество прямых, которое называется пучком прямых с центром в точке . Любую из прямых пучка (кроме прямой, параллельной оси Oy) можно представить уравнением

, (1)

где – угловой коэффициент рассматриваемой прямой пучка.

Пример 1. Составить уравнение пучка прямых с центром в точке .

Ответ: .

■ Угол между двумя прямыми. Пусть даны уравнения двух прямых (не параллельных оси ординат) и . Тогда тангенс угла между прямыми:

. (2)

Пример 2. Найдем угол между направлениями прямых и .

Решение. Здесь , , . По формуле (2) ; искомый угол .

Пример 3. Найти углы, образованные прямыми , .

Решение. Примем , . Тогда по формуле (2) . Отсюда находим угол , второй угол, образованный этими прямыми, равен (рис. __).

Пример 4. Найти углы между прямыми и .

Решение. Здесь пользоваться формулой (2) невозможно, так как вертикальная прямая не имеет углового коэффициента. Так как угол наклона первой прямой к оси Ох равен 60º (), то угол между положительным направлением этой прямой и положительной полуосью Оу равен (другой угол равен ).

■ Условие перпендикулярности двух прямых. Прямые и перпендикулярны тогда и только тогда, когда в формуле (2) знаменатель обращается в 0 (при этом перестает существовать). Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых является условие или же . Например, прямые и перпендикулярны, так как , и .

■ Условие параллельности двух прямых, очевидно, имеет вид (так как у параллельных прямых углы наклона к оси абсцисс одинаковы).

Если прямые заданы общими уравнениями и , то

,

т.е. пропорциональность соответствующих коэффициентов в уравнениях прямых.

Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Решение. Запишем уравнение (1) пучка прямых с центром в точке : ; из условия параллельности следует, что нужно взять .

Ответ: или же .

Пример 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Решение. Угловой коэффициент данной прямой равен (это видно из уравнения ). Поэтому в уравнении пучка (см. решение Примера 5) следует, согласно условию перпендикулярности, взять .

Ответ: или же .