25

Лекция № 1. Понятие вектора. Векторы на прямой. Линейные операции над векторами на прямой: сложение векторов, умножение вектора на число. Декартова система координат на прямой. Простейшие задачи аналитической геометрии. Векторы на плоскости. Коллинеарные и неколлиниарные векторы. Равенство векторов. Линейные операции над векторами на плоскости.

Направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой будем называть вектором и обозначать символом . Точку часто называют точкой приложения вектора , числовой характеристикой вектора является длина отрезка , а направление указывают стрелкой.

Длину отрезка называют также модулем вектора и обозначают . В тех случаях, когда начальная и конечная точки вектора не важны, используют более простое обозначение вектора: .

Вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, называют нулевым вектором и обозначают символом . Легко видеть, что длина нулевого вектора равна 0, а направление не определено. Условились направление нулевого вектора выбирать произвольно в зависимости от условий задачи.

Рассмотрим сначала множество векторов, лежащих на некоторой прямой . Легко видеть, что любые два вектора на прямой могут иметь либо одинаковое направление (в этом случае их называют сонаправленными), либо противоположные направления (в этом случае их называют противоположно направленными). Два вектора и на прямой назовем равными (обозначение ), если при совмещении их начальных точек совпадут их конечные точки. Ясно, что это произойдет тогда и только тогда, когда и имеют одинаковое направление и одинаковую длину. Все нулевые векторы считаются равными.

Рассмотрим теперь линейные операции над векторами на прямой : сложение векторов и умножение вектора на число.

Определение 1. Суммой двух векторов и на прямой назовем

вектор , начало которого совпадает с началом

вектора , а конец – с концом вектора , при

условии, что вектор приложен к концу вектора .

Обозначение: . Из определения 1 ясно, вектор лежит на прямой , направление его совпадает с направлением большего по длине вектора или , а длина равна сумме длин векторов и , если они сонаправлены и модулю разности длин векторов и , если они противоположно направлены.

Если векторы и имеют противоположные направления и равны по длине, то . В этом случае вектор называют противоположным для вектора и обозначают . Операцию сложения двух векторов на прямой можно распространить на любое число слагаемых векторов.

Операция сложения векторов на прямой обладает следующими свойствами:

• 1). (коммутативный закон).

• 2). (ассоциативный закон).

Определение 2. Произведением вектора на прямой на число

называется вектор, обозначаемый , на прямой ,

удовлетворяющий условиям:

1. ;

2. векторы и сонаправлены, если и противоположно направлены, если .

Очевидно, что при вектор является нулевым вектором.

Операция умножения вектора на число на прямой обладает свойствами

• 3) (ассоциативный закон).

• 4) (дистрибутивный закон относительно суммы векторов).

• 5) (дистрибутивный закон относительно суммы чисел).

Заметим, что разность векторов можно рассматривать как сумму векторов и .

Зададим на прямой положительное направление (стрелкой), выберем некоторую точку , которую назовем началом отсчета, и укажем единицу измерения – некоторый вектор , сонаправленный с положительным направлением прямой . Вектор называют единичным вектором.

Прямую с заданным положительным направлением, выбранным началом отсчета и единичным вектором называют осью, или системой координат на прямой. При этом точку О называют началом координат, а единичный вектор обозначают символом . Выберем на прямой произвольно точку и рассмотрим вектор как произведение вектора на некоторое действительное число : . Ясно, что такое число будет единственным и оно равно длине вектора , взятой со знаком «+», если вектор сонаправлен с вектором и со знаком «-», если вектор противоположно направлен относительно . Такое число называют координатой точки М и обозначают символом .

Зная координаты двух точек и прямой , можно найти расстояние между этими точками, а также вычислить координату точки, делящей вектор в заданном отношении. Эти две задачи называют простейшими задачами аналитической геометрии.

Расстояние между и равно .

Определение 3. Будем говорить, что точка М, лежащая между и ,

делит вектор в отношении , если .

Здесь и - произвольные положительные действительные числа. Зная и , выведем формулу, по которой вычисляется координата точки М, делящей вектор в отношении . Обозначим через координату точки М, Тогда . По условию . Отсюда получаем , или , или . В частности, если (т.е. М – середина вектора ), то получаем .

Рассмотрим теперь множество векторов, лежащих на некоторой плоскости. Если на прямой любые два вектора сонаправлены или противоположно направлены, то на плоскости они могут иметь различные направления.

Определение 4. Два вектора на плоскости, лежащие на одной прямой

или на параллельных прямых, называют

коллинеарными, в противном случае –

неколлинеарными.

Легко видеть, что коллинеарные векторы (как и векторы на прямой) либо сонаправлены, либо противоположно направлены.

Определение 5. Два вектора и на плоскости называют равными,

если они коллинеарны, сонаправлены и имеют

одинаковую длину. В этом случае пишут . Если

же векторы имеют одинаковую длину, коллинеарны

и противоположно направлены, их называют

противоположными.

Определение 6. Суммой двух векторов и назовем вектор ,

начало которого совпадает с началом вектора , а

конец – с концом вектора , при условии, что вектор

приложен к концу вектора .

Такое правило сложения двух векторов на плоскости называют правилом треугольника (если векторы и неколлинеарны, то вместе с вектором они образуют треугольник).

Существует другой способ сложения неколлинеарных векторов и на плоскости. Можно вектор приложить к началу вектора и построить параллелограмм на векторах и . Тогда вектор, совпадающий по длине с диагональю этого параллелограмма, выходящей из общей точки приложения векторов и , будет суммой . Это правило сложения векторов называют правилом параллелограмма.

Операцию сложения двух векторов на плоскости так же как и на прямой можно распространить на любое число слагаемых векторов. При этом операция сложения векторов будет удовлетворять свойствам 1) – 2).

Определение 7. Произведением вектора на число называется

вектор, обозначаемый , удовлетворяющий

условиям:

1. ;

2. вектор коллинеарен вектору ;

3. векторы и сонаправлены, если и противоположно направлены, если .

Очевидно, что при вектор является нулевым вектором.

Операция умножения вектора на число удовлетворяет ассоциативному закону: ; дистрибутивному закону относительно суммы векторов: и дистрибутивному закону относительно суммы чисел: .

Теорема 1. Чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны,

необходимо и достаточно существование числа такого,

что .

Лекция № 2. Декартова система координат на плоскости. Операции над векторами в координатах. Угол между двумя векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения, если известны координаты векторов.

Рассмотрим на плоскости две оси и , пересекающиеся в точке , которая является началом отсчета на каждой из осей. Совокупность таких осей определяет афинную систему координат на плоскости. При этом точку называют началом системы координат, а оси и – осями координат. Если угол между осями координат равен 90° (прямой), то систему координат называют прямоугольной. Если единичные векторы на осях координат имеют одинаковую длину, то систему координат называют декартовой в честь Р.Декарта, который впервые начал рассматривать такие системы координат. В школьном курсе математики используется лишь прямоугольная декартова система координат. В нашем курсе мы также часто будем использовать прямоугольную (но не обязательно декартову) систему координат.

По традиции в прямоугольной системе координат на плоскости одну из осей (например ) изображают горизонтально относительно наблюдателя, а другую – вертикально. Горизонтальную ось называют осью абсцисс и обозначают , а вертикальную ось называют осью ординат и обозначают . Единичные векторы осей и обозначают через и соответственно.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Возьмем произвольно точку на этой плоскости и обозначим через и проекции точки на оси и соответственно.

Допустим, что точка имеет координату на оси , а точка имеет координату на оси . Эти числа и в указанном порядке называют декартовыми координатами точки и этот факт обозначают символом . При этом координату называют абсциссой точки , а координату - ординатой точки .

Легко видеть, что является проекцией вектора на ось абсцисс, а - проекцией вектора на ось ординат. Следовательно , . Таким образом получаем

. (1)

Упорядоченную пару чисел называют также координатами вектора и этот факт обозначают символом .

Поскольку точка выбиралась произвольно, то равенство (1) означает, что любой вектор на плоскости можно выразить и притом единственным образом через единичные векторы координатных осей и . Поэтому пару векторов и (в перечисленном порядке) называют базисом на плоскости, а равенство (1) разложением вектора по базису. В частности ; .

Пусть имеем две точки на плоскости и , заданные декартовыми координатами. Найдем расстояние между точками и .

Длина вектора может быть найдена по теореме Пифагора из треугольника .

.

Рассмотрим теперь решение задачи о делении вектора внутренней точкой в отношении , если известно, что и . Обозначим декартовы координаты точки через и пусть являются проекциями точек на оси соответственно. Из подобия треугольников следует . Учитывая, что на оси , получаем . Аналогично можно найти .

Рассмотрим теперь прямоугольную систему координат в трехмерном пространстве. Ее образуют три взаимно перпендикулярные оси , и , пересекающиеся в точке , которая является началом координат на каждой из осей. Если единичные векторы на каждой из осей имеют одинаковую длину, то систему координат называют декартовой.

В ней оси , и называют осью абсцисс (ось ), осью ординат (ось ) и осью апликат (ось ) соответственно. Единичные векторы этих осей обозначают соответственно через . Если в трехмерном пространстве произвольно взять точку и найти ее проекции на оси соответственно, то получим три числа - координаты точек , которые в указанном порядке образуют декартовы координаты точки в трехмерном пространстве. Этот факт обозначают символом . Упорядоченная тройка чисел (), представляющая собой проекции вектора на оси координат, является также координатами вектора : , а упорядоченная тройка векторов образует базис. Разложение вектора по этому базису имеет вид . В частности ; ; .

Решения простейших задач аналитической геометрии в трехмерном пространстве аналогичны решениям этих задач на плоскости.

Если имеем две точки и , заданные декартовыми координатами, то расстояние между ними вычисляется по формуле

,

а координаты точки , делящей вектор в отношении , находятся по формулам , , .

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Возьмем произвольно две точки и и поставим задачу: найти координаты вектора .

Соединив точки и с началом координат , получим , или . Разлагая по базису каждый из векторов и , будем иметь

.

Это значит, что .

Выведем теперь формулы для нахождения координат суммы двух векторов и произведения вектора на число. Пусть имеем два вектора: и и число . Разложив данные векторы по базису, получим , . Очевидно, что , или и , или . Таким образом при сложении двух векторов их одноименные координаты складываются, а при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Два вектора, приложенные к общему началу, в плоскости этих векторов образуют между собой два угла и . Наименьший из этих углов назовем углом между векторами.

Определение 8. Скалярным произведением векторов и называют

число, равное произведению длин этих векторов и

косинуса угла между ними.

Скалярное произведение векторов и будем обозначать символом . По определению 8 имеем , где - угол между и .

Теорема 2. Два вектора взаимно перпендикулярны тогда и только

тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1°. ;

2°. ;

3°. если векторы и взаимно перпендикулярны, то ;

4°. .

5°. .

Теорема 3 Если векторы и заданы своими прямоугольными

декартовыми координатами , то

.

С помощью теоремы 3 можно находить длину вектора и косинус угла между двумя ненулевыми векторами, если известны декартовы координаты векторов. Действительно, считая что , получаем:

1. ;

2. .

Лекция № 3. Понятие об мерном векторном пространстве. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Координаты вектора. Операции над векторами в координатах.

Любой вектор вполне определяется своими координатами: на прямой – некоторым действительным числом ; на плоскости – парой упорядоченных действительных чисел ; в трехмерном пространстве – тройкой упорядоченных действительных чисел . Если отвлечься от геометрического образа вектора как направленного отрезка, то можно ввести в рассмотрение мерные векторы как упорядоченные наборы действительных чисел. По аналогии с трехмерным пространством числа, из которых состоят эти наборы, будем называть координатами мерных векторов и обозначать . В частности . Множество всех мерных векторов называют мерным векторным пространством и обозначают символом .

Два мерных вектора и называют равными тогда и только тогда, когда .

Суммой двух векторов и назовем вектор , а произведением вектора на число - вектор . Операция сложения векторов может быть распространена на любое число слагаемых векторов и удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам: ; , а операция умножения вектора на число удовлетворяет ассоциативному закону: ; дистрибутивному закону относительно суммы векторов: и дистрибутивному закону относительно суммы чисел: .

Скалярным произведением векторов и назовем число . Оно обладает такими же свойствами, что и на плоскости

Определение 9. Векторы пространства называют

линейно зависимыми, если найдутся такие числа

, одновременно не равные нулю, что

(*).

Если же равенство (*) выполняется только при

, то векторы называют

линейно независимыми.

Левую часть равенства (*) называют линейной комбинацией векторов . На плоскости любые два коллинеарных вектора будут линейно зависимы, а любые два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Любые три компланарных вектора (т.е. три вектора, лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях) трехмерного пространства будут линейно зависимы, а любые три некомпланарных вектора – линейно независимы. В частности векторы линейно независимы.

Свойства линейной зависимости векторов:

1°. Если среди векторов имеется нулевой вектор, то векторы будут линейно зависимы.

2°. Если среди векторов найдется хотя бы один, который можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов, то векторы будут линейно зависимы.

3°. Если среди векторов некоторые векторов будут линейно зависимы, то векторы также будут линейно зависимы.

Определение 10. Будем говорить, что в пространстве векторы

образуют базис, если они линейно

независимы и любой вектор можно

представить в виде их линейной комбинации:

. При этом числа

называют координатами вектора в базисе

, а само равенство – разложением вектора

по базису .

В частности, на прямой (в пространстве ) базис образует вектор ; на плоскости (в пространстве ) базис образуют векторы и ; в трехмерном пространстве (в пространстве ) базисом являются векторы , и ; в пространстве базис образуют мерные векторы .