Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Определение 11. Окружностью называют геометрическое место точек

плоскости, равноудаленных от заданной точки – центра.

Каноническое уравнение окружности имеет вид .

Определение 12. Эллипсом называют геометрическое место точек плоскости,

сумма расстояний каждой из которых до двух заданных точек

(фокусов) есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид . Здесь большая полуось, меньшая полуось. Величина - половина фокусного расстояния. Эллипс можно рассматривать как результат сжатия окружности вдоль оси к оси ОХ. Коэффициент сжатия называют эксцентриситетом эллипса. Он всегда меньше 1.

Определение 13. Гиперболой называют геометрическое место точек плоскости,

модуль разности расстояний каждой из которых до двух

заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . Здесь действительная полуось, мнимая полуось. Величина – половина фокусного расстояния. Число называют эксцентриситетом гиперболы. Он всегда больше 1. Прямые называют асимптотами гиперболы. К ним ветви гиперболы приближаются на плюс и минус бесконечности.

Определение 14. Параболой называют геометрическое место точек плоскости,

равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной

прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет вид . Здесь параметр параболы.

Ориентация базиса. Правые и левые тройки. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Условия компланарности трех векторов.

Общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Прямая в трехмерном пространстве, ее канонические уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей в трехмерном пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Выберем произвольно точку и зададим ненулевой вектор . Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору . Возьмем на искомой плоскости произвольно точку отличную от точки и рассмотрим вектор . Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то , или , или . Обозначив число через , получим уравнение искомой плоскости

, (1)

Его называют общим уравнением плоскости, а вектор называют нормальным вектором для этой плоскости. Учитывая, что этот вектор ненулевой, в уравнении (1) числа , и не могут одновременно равняться нулю.

Рассмотрим теперь другие уравнения плоскости.

Допустим, что в общем уравнении плоскости (1) выполняются условия ,. Перенесем число в правую часть и поделим обе части уравнения на . Получим , или . Обозначив , приходим к уравнению

, (2)

которое называют уравнением плоскости в отрезках. Если в уравнении (2) положить и , то получим . Значит, точка лежит на оси , отсекая, тем самым на этой оси отрезок длины . Аналогично точка отсекает отрезок длины на оси , а точка отсекает отрезок длины на оси .

Найдем теперь уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и , не лежащие на одной прямой. Возьмем на искомой плоскости текущую точку и рассмотрим векторы , и . Точка будет лежать в плоскости точек , и тогда и только тогда, когда векторы компланарны. Условие компланарности этих векторов имеет вид . Это и есть уравнение плоскости, проходящей через , и .

Аналогично тому, как была получена формула расстояния от точки до прямой на плоскости, можно найти формулу расстояния от точки до плоскости , а именно .

Рассмотрим теперь вопрос о взаимном расположении двух прямых и на плоскости. Если эти прямые пересекаются, то между ними образуется четыре угла с общей вершиной в точке пересечения. При этом различных углов будет только два. Очевидно, что если один из двух различных углов равен , то другой будет равен . Углом между прямыми и будем называть любой из углов или . Такая двойственность не должна пугать читателя, поскольку нахождение одного из этих углов непосредственно влечет и нахождение другого. Если же прямые и параллельны, то угол между ними будем считать равным нулю.

Допустим, что прямые и заданы общими уравнениями и соответственно. Рассмотрим нормальные векторы и этих прямых. Легко заметить, что угол между и будет углом между прямыми и и находится из формулы .

На основании теоремы 2.2 с учетом теоремы 2.3 для плоскости утверждаем, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых и является условие .

Если прямые и параллельны, то их нормальные векторы и будут коллинеарны. По теореме 2.1. найдется число такое, что . Далее имеем . Отсюда . Итак, необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых и является пропорциональность координат нормальных векторов: .

Рассмотрим теперь вопрос о взаимном расположении двух прямых на плоскости, если прямые и заданы уравнениями и . Обозначим через и углы между положительным направлением оси ОХ и прямыми и соответственно. Тогда и .

Рисунок 25.

Угол между прямыми и может быть найден как (см. рис. 25). Тогда .

Поскольку и нам известны, то находим тангенс искомого угла и сам угол. Из полученной формулы определим условия перпендикулярности и параллельности прямых и .

Параллельность прямых и означает, что . Следовательно , или , или . Итак, для параллельности прямых и необходимо и достаточно равенство угловых коэффициентов этих прямых.

Перпендикулярность прямых и означает, что . Тогда не существует, что равносильно равенству нулю знаменателя дроби, т.е . Таким образом для перпендикулярности прямых и необходимо и достаточно, чтобы угловые коэффициенты этих прямых удовлетворяли равенству , или .