Понятие об мерном векторном пространстве. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Координаты вектора. Операции над векторами в координатах.
Любой
вектор вполне определяется своими
координатами: на прямой – некоторым
действительным числом
;
на плоскости – парой упорядоченных
действительных чисел
;
в трехмерном пространстве – тройкой
упорядоченных действительных чисел
.
Если отвлечься от геометрического
образа вектора как направленного
отрезка, то можно ввести в рассмотрение
мерные
векторы как упорядоченные наборы
действительных чисел. По аналогии с
трехмерным пространством числа, из
которых состоят эти наборы, будем
называть координатами
мерных
векторов и обозначать
.
В частности
.
Множество всех
мерных
векторов называют
мерным
векторным пространством и обозначают
символом
.
Два
мерных
вектора
и
называют равными тогда и только тогда,
когда
.
Суммой
двух векторов
и
назовем вектор
,
а произведением вектора
на число
- вектор
.
Операция сложения векторов может быть
распространена на любое число слагаемых
векторов и удовлетворяет коммутативному
и ассоциативному законам:
;
,
а операция умножения вектора на число
удовлетворяет ассоциативному закону:
;
дистрибутивному закону относительно
суммы векторов:
и дистрибутивному закону относительно
суммы чисел:
.
Скалярным
произведением векторов
и
назовем число
.
Оно обладает такими же свойствами, что
и на плоскости
Определение
9. Векторы
пространства
называют
линейно зависимыми, если найдутся такие числа
,
одновременно не равные нулю, что
(*).
Если же равенство (*) выполняется только при
,
то векторы
называют
линейно независимыми.
Левую
часть равенства (*) называют линейной
комбинацией векторов
.
На плоскости любые два коллинеарных
вектора будут линейно зависимы, а любые
два неколлинеарных вектора линейно
независимы.
Любые
три компланарных вектора (т.е. три
вектора, лежащих в одной плоскости или
в параллельных плоскостях) трехмерного
пространства будут линейно зависимы,
а любые три некомпланарных вектора –
линейно независимы. В частности векторы
линейно независимы.
Свойства линейной зависимости векторов:
1°.
Если среди векторов
имеется нулевой вектор, то векторы
будут линейно зависимы.
2°.
Если среди векторов
найдется хотя бы один, который можно
представить в виде линейной комбинации
остальных векторов, то векторы
будут линейно зависимы.
3°.
Если среди векторов
некоторые
векторов
будут линейно зависимы, то векторы
также будут линейно зависимы.
Определение
10. Будем говорить, что в пространстве
векторы
образуют
базис, если они линейно
независимы
и любой вектор
можно
представить в виде их линейной комбинации:
.
При этом числа
называют
координатами вектора
в базисе
,
а само равенство – разложением вектора
по
базису
.
В
частности, на прямой (в пространстве
)
базис образует вектор
;
на плоскости (в пространстве
)
базис образуют векторы
и
;
в трехмерном пространстве (в пространстве
)
базисом являются векторы
,
и
;
в пространстве
базис образуют
мерные
векторы
.