Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Пусть имеем матрицу . Рассматривая элементы каждой строки как координаты мерных векторов соответственно, матрицу можно записать в виде матрицы-столбца . Наибольшее число линейно независимых векторов во множестве {} называют строчным рангом матрицы .

Если же в матрице элементы каждого столбца рассматривать как координаты мерных векторов , то матрицу можно записать в виде матрицы-строки =(). Наибольшее число линейно независимых векторов во множестве {} называют столбцовым рангом матрицы . Можно доказать, что строчный и столбцовый ранги любой матрицы равны. Их общее значение называют рангом матрицы и обозначают символом .

Однако находить ранг матрицы по определению часто бывает неудобно из-за трудоемкости. Обычно для определения ранга матрицы ее преобразовывают к ступенчатому виду, который сразу позволяет определить линейную зависимость или независимость ее строк или столбцов.

Матрицей ступенчатого вида называют матрицу , обладающую свойством: если - первый ненулевой элемент строки , то все элементы матрицы, стоящие ниже и левее , равны нулю (т.е , при всех ). При этом элементы называют угловыми. Например, матрица является матрицей ступенчатого вида. В первой строке первым отличным от нуля элементом является . Все элементы, стоящие ниже его равны нулю: . Во второй строке первым отличным от нуля элементом является . Все элементы, стоящие ниже и левее равны нулю: , . В третьей строке первый отличный от нуля элемент , а . В четвертой строке все элементы нулевые. Таким образом, угловыми элементами матрицы , имеющей ступенчатый вид, являются . Матрица не является матрицей ступенчатого вида, так как для первого отличного от нуля элемента второй строки элемент , стоящий ниже, отличен от нуля.

Рассмотрим преобразования, не меняющие ранга матрицы, т.е. не меняющие линейной зависимости (независимости) строк или столбцов матрицы. К ним относятся следующие преобразования, которые называют элементарными:

1. отбрасывание нулевой строки (столбца);

2. изменение порядка строк (столбцов);

3. транспонирование матрицы;

4. умножение всех элементов строки (столбца) на любое число ;

5. умножение всех элементов одной строки (столбца) на любое число и прибавление их к соответствующим элементам другой строки (столбца).

Можно доказать, что с помощью перечисленных выше преобразований любая матрица приводится к ступенчатому виду. При этом ее ранг будет равен числу угловых элементов матрицы.

Систему, состоящую из уравнений с неизвестными вида

(1)

называют системой линейных уравнений. В ней - заданные числа. Решением такой системы называется набор чисел , при подстановке которых в систему, каждое из уравнений превращается в верное равенство. Решить систему уравнений (1) – значит найти множество всех решений или доказать, что система не имеет решений. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; в противном случае – несовместной.

Две системы линейных уравнений называют эквивалентными, если множества решений этих систем совпадают. В противном случае системы называют неэквивалентными.

Если , то систему (1) называют однородной; в противном случае (т.е. если хотя бы одно из чисел не равно нулю) – неоднородной.

Матрицу называют матрицей системы (1); матрицу называют расширенной матрицей системы (1); матрицу называют матрицей неизвестных, а матрицу - матрицей свободных членов. Нетрудно заметить, что систему (1) можно записать в матричной форме в виде

. (2)

Если в системе (1) число неизвестных совпадает с числом уравнений () и , то систему можно решить методом Крамера по формулам , , …,, где , определители, полученные из заменой го столбца столбцом свободных членов .