3.2.3.4. Вимушені коливання при наявності опору

Рис. 3.12

У цьому випадку диференціальне рівняння руху матеріальної точки набуває вигляду:

.

(3.42)

Розв’язання рівняння дається у вигляді загального інтеграла (3.42) без правої частини і частинного розв’язку, який шукаємо у вигляді:

.

Кінцевий результат пошуків дає:

,

(3.43)

де:

,

і

.

Отже, розв’язок диференціального рівняння (3.42) визначається формулою:

.

(3.44)

Перший доданок правої частини рівняння (3.44) являє собою згасаюче коливання , другий – гармонійні коливання з частотою р, амплітудою і початковою фазою , які викликано дією збурюючої сили.

Питання для самоконтролю

1. Які закони Ньютона лежать в основі динаміки?

2. Наведіть приклади сил, що діють на матеріальну точку, які є: а) сталими; б) залежними від часу; в) залежними від швидкості; г) залежними від положення цієї точки.

3. Напишіть диференціальні рівняння руху матеріальної точки в проекціях на осі нерухомої декартової системи координат і на осі природного тригранника.

4. Яка різниця між диференціальним рівнянням руху вільної і невільної матеріальної точки?

5. У чому полягає суть прямої та оберненої задачі динаміки?

6. Як визначаються сталі інтегрування при розв’язанні диференціальних рівнянь руху точки?

7. Чи достатньо задання сили для визначення конкретного руху точки? Чому?

8. При виконанні яких умов точка буде рухатись під дією сили: а) прямолінійно; б) в одній площині?

9. У випадку дії на точку яких сил диференціальне рівняння прямолінійного руху доцільно брати у вигляді: ?

10. Які умови потрібно накласти на сили, що діють на матеріальну точку, щоб остання рухалась рівномірно по криволінійній траєкторії?

11. При яких умовах сума проекцій сил, прикладених до точки, на головну нормаль траєкторії дорівнює нулю?

12. Вантаж масою рухається по похилій площині з кутом нахилу ; коефіцієнт тертя вантажу по площині дорівнює . Чи будуть однаковими диференціальні рівняння руху вантажу по цій площині вверх і униз?

13. Під дією якої сили виникають вільні гармонійні коливання матеріальної точки?

14. Від чого залежать колова частота, амплітуда і початкова фаза вільних коливань?

15. Яка сила викликає згасаючі коливання матеріальної точки?

16. Які коливання мають більший період: незгасаючі чи згасаючі?

17. Яка сила викликає вимушені коливання матеріальної точки?

18. При яких умовах виникає резонанс? В чому особливість цього явища?

0. 3.3. Загальні відомості про механічну систему

   0. 3.3.1. Механічна система і сили, що діють на її складові

Моделювання реального тіла як матеріальної точки має певні обмеження (це ті випадки, коли розмірами тіл згідно з умовою задачі можна знехтувати). Проте часто реальний об’єкт необхідно розглядати в якості механічної системи, тобто сукупності матеріальних точок або тіл, в якій положення і рух кожної точки (тіла) залежить від положення і руху всіх інших. Ця залежність обумовлена силовою взаємодією між окремими елементами механічної системи.

В курсі статики ми поділяли всі сили, прикладені до твердого тіла чи системи тіл, на активні і реакції в’язей, розуміючи під першими сили, що не залежать від в’язей. Там же було показано, що сили можна також поділити на зовнішні і внутрішні.

Нагадаємо ще раз визначення зовнішніх і внутрішніх сил. Зовнішніми називають сили, які є результатом дії на точки (тіла) даної механічної системи з боку тіл, що не входять до складу цієї системи. Сили взаємодії між матеріальними точками чи тілами системи називають внутрішніми. Позначаються зовнішні сили верхнім індексом , а внутрішні – верхнім індексом (від початкових літер французьких слів exerieur – зовнішній і interieur – внутрішній):

- зовнішня сила, - внутрішня сила.

Властивості внутрішніх сил виходять з третього закону Ньютона і зводяться д наступного:

Геометричні суми всіх внутрішніх сил механічної системи і їх моментів відносно довільного центра простору дорівнюють нулю при будь-якому стані системи. Тобто:

.

(3.45)

Рівність нулю головного вектора і головного момента внутрішніх сил зовсім не означає, що ці сили зрівноважені. Слід пам’ятати, що внутрішні сили прикладені до різних тіл даної матеріальної системи, які в загальному випадку можуть переміщуватись одне відносно другого. Прикладом може бути Сонячна система, планети якої і їх супутники здійснюють складні рухи під дією тільки внутрішніх сил.