3.2.2. Дві задачі динаміки матеріальної точки

За допомогою диференціальних рівнянь руху матеріальної точки розв’язують дві основні задачі динаміки, про які згадувалось у пункті 3.1. Розглянемо алгоритми (методику) розв’язання цих задач.

Перша (пряма) задача динаміки точки

В задачах цієї категорії задані закон руху точки і її маса. Потрібно знайти рівнодіючу сил, яка обумовлює заданий рух. Методика розв’язання полягає у наступному: закон руху підставляють в диференціальне рівняння (3.4) або в (3.6) (в залежності від способу завдання руху) і диференціюванням функцій, якими задано закон руху, визначають проекції шуканої рівнодіючої сил.

Приклад 1

Матеріальна точка масою m рухається в площині згідно з законом . Знайти силу, під дією якої відбувається цей рух.

В даному випадку рух задано в декартових координатах. Тому для розв’язання використовуємо систему рівнянь (3.4). Знаходимо:

і і

Таким чином, з’ясовуємо, що на точку діє стала сила, паралельна осі у і протилежна їй за напрямом.

Приклад 2

Матеріальна точка маси m рухається по колу радіуса r згідно з законом . Визначити силу, під дією якої відбувається такий рух. Закон задано в натуральній формі, тому для розв’язання задачі використовуємо диференціальне рівняння (3.6). Знаходимо:

; . Тому і .

Приходимо до висновку, що заданий рух матеріальної точки відбувається під дією сили, сталою за величиною і напрямленою за радіусом кола до його центра.

Друга (обернена) задача динаміки точки

В задачах такого типу відомі сили, які діють на матеріальну точку, її маса і початкові умови. Останні визначають положення точки і її швидкість в певний момент часу, прийнятий за початковий. Потрібно знайти кінематичні характеристики руху точки (закон руху, швидкість і інколи прискорення).

Розв’язання другої задачі зводиться до інтегрування систем диференціальних рівнянь (3.4) або (3.6) при заданих початкових умовах.

Розглянемо більш детальніше особливості розв’язання другої задачі динаміки точки при умові її прямолінійного руху. Причому координатну вісь х у всіх випадках будемо суміщати з напрямом прямої, вздовж якої відбувається рух. Тоді вектор сили , що діє на точку, повністю визначається його єдиною проекцією .

Виділимо з усієї різноманітності сил такі, що є: а)сталими, б) залежними тільки від часу, в) залежними від положення (координати) точки, г) залежними тільки від швидкості точки.

а. Прямолінійний рух точки під дією сталої сили .

Диференціальне рівняння в цьому випадку має вигляд:

звідкіля:

і .

Після інтегрування отримаємо:

.

Після другого інтегрування з урахуванням того, що , будемо мати:

.

б. Прямолінійний рух матеріальної точки під дією сили, що залежить тільки від часу.

Вихідне диференціальне рівняння:

З нього виходить:

і .

Після інтегрування отримаємо:

,

а після повторного інтегрування отримаємо:

.

в. Прямолінійний рух матеріальної точки під дією сили, що залежить тільки від положення точки.

Якщо урахувати, що :

,

(3.10)

то вихідне диференціальне рівняння руху записується у такій формі:

.

Після інтегрування знайдемо:

,

звідки:

і .

Повторне інтегрування дає:

.

Тобто .

Розв’яжемо останнє рівняння відносно х і знайдемо закон руху точки в залежності від часу t.

г. Прямолінійний рух точки під дією сили, яка залежить тільки від швидкості цієї точки.

При розв’язанні задачі виникають два варіанти.

Перший варіант. Умова задачі дозволяє визначити швидкість як функцію часу.

Тоді або і . Після інтегрування отримуємо:

.

Якщо з останнього рівняння можна визначити швидкість як функцію від часу, тобто:

,

то після інтегрування цього виразу маємо:

.

Другий варіант. При неможливості визначити швидкість як функцію часу, записуємо вихідне диференціальне рівняння у такій формі (дивись пункт «в»):

.

Тоді і .

З останнього співвідношення визначаємо: . Ітегруємо і отримуємо: ,

звідки визначаємо х як функцію від t.