4.2. Принцип можливих переміщень

В статиці і розглянутих раніше розділах динаміки ефект дії в’язей, накладених на матеріальний об’єкт, ураховувався введенням реакцій в’язей, напрями яких відповідали напрямам тих переміщень, що не дозволялися даною в’яззю.

В аналітичній механіці дію в’язей на точку або систему точок визначають не силами реакцій, а тими нескінченно малими переміщеннями, які дозволяються при наявності в’язей.

Саме на цьому принципі і ґрунтується метод розв’язання задач рівноваги матеріальних об’єктів, запропонований французьським математиком Лагранжем.

Можливими (віртуальними) переміщеннями матеріальної точки називаються такі нескінченно малі переміщення, які допускаються в даний момент часу накладеними на точку в’язями.

Таким чином, можливі переміщення повинні відповідати наступними умовам:

1. бути елементарними, тобто нескінченно малими;

2. відповідати певному моменту часу;

3. не порушувати в’язі.

Можливі переміщення механічної системи визначаються будь-якою сукупністю можливих переміщень окремих точок системи. Можливі переміщення не можна плутати з дійсним переміщенням.

Так, якщо точка лежить на площині, то її можливими переміщеннями є нескінченно малі переміщення в будь-якому напрямі по цій площині. Дійсним же переміщенням точки може бути одне з цих можливих, саме те, котре обумовлено не тільки характером в’язі, але і діючими на точку силами і початковими умовами руху.

На відміну від дійсних елементарних переміщень, які ми позначали через або , можливі переміщення будемо позначати через , , тощо.

В загальному випадку механічна система може мати безліч можливих переміщень. Але в кожному окремому випадку при відомих в’язях можна вибрати такі незалежні переміщення, через які виражаються всі інші.

Наприклад, для кульки, що знаходиться на поверхні стола, будь-яке можливе переміщення на площині можна виразити через два незалежних взаємно перпендикулярних переміщення і у вигляді співвідношення , де і довільні числа (рис.4.3).

Число незалежних між собою можливих переміщень механічної системи називають числом ступенів вільності цієї системи.

Поняття про можливу роботу

Під можливою роботою розуміють елементарну роботу, яку могла б здійснити сила, прикладена до матеріальної точки на її можливому елементар-

ному переміщенні, тобто:

.

Рис.4.3

Якщо на матеріальну точку чи механічну систему накладено в’язі у вигляді гладких поверхонь або гладких ліній, то реакції таких в’язей перпендикулярні до них. З цього виходить, що при будь-якому можливому переміщенні точки прикладання реакції вона залишається перпендикулярною до напряму переміщення і її робота буде дорівнювати нулю. Такі в’язі називають ідеальними.

Умова ідеальності в’язей має вигляд:

.

(4.15)

Розглянемо невільну механічну систему, що складається з матеріальних точок і знаходиться у стані рівноваги. В’язі, накладені на систему, будемо вважати геометричними, стаціонарними і ідеальними. Позначимо рівнодіючу всіх активних сил (зовнішніх і внутрішніх), прикладених до -ї точки системи як , а рівнодіючу реакцій її в’язей через .

Тоді, оскільки кожна з точок системи знаходиться у рівновазі, повинна виконуватись умова:

.

Отже і сума елементарних робіт цих сил на довільному переміщенні точки буде дорівнювати нулю:

.

Для всієї механічної системи отримаємо:

.

За умовою в’язі є ідеальними і тому . Таким чином, кінцево виходить, що

.

(4.16)

Отримане рівняння є математичною формулою запису принципу можливих переміщень: для рівноваги механічної системи з геометричними, стаціонарними і ідеальними в’язями, необхідно й досить, щоб сума робіт активних сил на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнювала нулю.

Рівняння (4.16) називають також загальним рівнянням статики. Воно залишається справедливим і для механічних систем з неідеальними в’язями, якщо сили тертя приєднати до активних сил.

При розв’язанні задач рівняння (4.16) записують в аналітичній формі:

,

(4.17)

де - проекції вектора можливих переміщень на осі декартової системи координат.