Зведення сил інерції точок твердого тіла до найпростішого виду

В статиці була доведена теорема, відповідно до якої довільну систему сил можна звести до будь-якого центра і замінити в загальному випадку однією силою (головним вектором) і однією парою сил (головним моментом). Таке ж зведення можна виконати і для сил інерції.

Згідно із формулою (4.8) головний вектор сил інерції визначається рівнянням:

.

Але , де - вектор кількості руху механічної системи. В свою чергу і тому .

Тоді:

,

(4.12)

З цієї формули виходить, що при всякому русі твердого тіла головний вектор сил інерції дорівнює добутку маси тіла на прискорення його центра мас і має напрям, протилежний напряму цього прискорення.

Подібні перетворення виконаємо з виразом головного момента сил інерції (рівняння 4.9):

.

Так як то кінцево

.

(4.13)

Тобто, головний момент сил інерції дорівнює першій похідній за часом від вектора кінетичного момента механічної системи, взятій зі знаком мінус.

Поступальний рух твердого тіла

При поступальному русі твердого тіла сили інерції окремих його частинок утворюють систему паралельних сил, рівнодіюча яких прикладена в центрі мас тіла і визначається формулою (4.12):

.

Момент рівнодіючої, а відповідно, і сума моментів всіх складових сил інерції відносно центра мас, дорівнює нулю. Такий же результат виходить з формули (4.13). Дійсно, кінетичний момент тіла, що рухається поступально, відносно будь-якої осі дорівнює нулю і . Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, що проходить через центр мас С тіла (центральна вісь), то прискорення центра мас і головний вектор сил інерції також дорівнює нулю:

.

Відомо, що кінетичний момент твердого тіла відносно осі обертання . З векторного рівняння (4.13), спроектованого на вісь обертання тіла, виходить:

.

(4.14)

Таким чином, при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі, яка проходить через його центр мас, сили інерції точок тіла зводяться до пари сил, що лежить в площині, перпендикулярній до осі обертання, з моментом, рівним за модулем добутку момента інерції тіла відносно осі обертання на кутове прискорення тіла. Напрям момента пари сил протилежний напряму кутового прискорення.

При плоскопаралельному русі тіла, якщо воно має площину симетрії і рухається паралельно до цієї площини, система сил інерції зводиться до головного вектора (4.12), прикладеного в центрі мас С тіла, і головного момента (4.14).

Питання для самоконтролю

1. Як напрямлена сила інерції матеріальної точки, що рухається прямолінійно: а) прискорено; б) сповільнено?

2. Як напрямлена сила інерції точки при її рівномірному русі: а) по колу; б) по будь-якій криволінійній траєкторії?

3. Матеріальна точка вагою підвішена на невагомому стержні, що рівномірно обертається у вертикальній площині навколо нерухомої осі. В яких положеннях стержня його натяг буде: а) максимальним; б) мінімальним? Наскільки відрізняються ці екстремальні значення?

4. З яким прискоренням повинен рухатися униз ліфт, щоб людина, яка знаходиться в ньому, була у стані невагомості, тобто не чинила тиск на підлогу?

5. На які колеса (передні чи задні) більшу силу тиску справляє автомобіль: а) при прискореному русі; б) при гальмуванні?

6. Який автомобіль більш ефективний: з передньою чи задньою ведучою віссю?

7. Де доцільніше встановлювати гальма автомобіля: на передніх чи задніх колесах?

8. У чому полягає принцип Даламбера для механічної системи?

9. Чому рівні головний вектор і головний момент сил інерції твердого тіла?

10. Тверде тіло обертається навколо нерухомої осі. Чому дорівнює проекція головного момента сил інерції тіла на вісь обертання?

11. Чи враховуються внутрішні сили механічної системи в принципі Даламбера?

12. Однорідна балка вагою Р своїми кінцями лежить на двох опорах. Одну з опор миттєво відкидають. Як зміниться сила тиску балки на опору, що залишилася?