Диференціальне рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої осі

Припустимо, що певне тверде тіло обертається навколо нерухомої осі під дією системи зовнішніх сил . Тоді згідно з рівнянням (3.83) отримаємо:

,

де: - кінетичний момент тіла відносно осі .

В той же час, як відомо, , і попереднє співвідношення набуває вигляду:

.

(3.86)

Отримана формула і є диференціальним рівнянням обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.

При обчисленні суми моментів зовнішніх сил відносно осі обертання твердого тіла потрібно мати на увазі, що реакції ідеальних в’язей (реакції опор осі) в рівняння (3.86) не входять, бо лінії їх дії перетинають вісь.

З диференціального рівняння обертання тіла виходить:

1. Якщо , то також є сталою, тобто обертання тіла є рівнозмінним.

2. Якщо , і - маємо випадок рівномірного обертання тіла навколо осі.

Обчислення кінетичного момента в деяких випадках руху твердого тіла

1. Якщо тверде тіло здійснює поступальний рух, то кінетичний момент тіла відносно деякої осі дорівнює моменту кількості руху його центра мас відносно тієї ж осі. Дійсно,

   .

   (3.87)

2. Кінетичний момент твердого тіла, яке здійснює плоскопаралельний рух, відносно будь-якої осі, перпендикулярної до площини руху цього тіла, дорівнює сумі момента кількості руху центра мас тіла відносно обраної осі і момента кількості руху відносно осі, що проходить через центр мас тіла паралельно обраній.

.

(3.88)

В наведених двох останніх формулах - маса всього тіла.

Питання для самоконтролю

1. Чому дорівнює кінетичний момент твердого тіла, що обертається відносно нерухомої осі?

2. Чому дорівнює кінетичний момент матеріальної точки відносно центра?

3. Матеріальна точка масою рухається зі сталою швидкістю по еліпсу з півосями і (). Визначіть положення точки, в якій кінетичний момент її відносно центра еліпса буде: а) максимальним; б) мінімальним.

4. Коли кінетичний момент матеріальної точки відносно осі дорівнює нулю?

5. Чому дорівнює кінетичний момент однорідного циліндра масою і радіусом , який котиться без ковзання по горизонтальній площині, відносно миттєвої осі обертання, якщо швидкість його центра мас дорівнює ?

6. Через невагомий блок радіусом , який обертається з кутовою швидкістю відносно горизонтальної осі, перекинутий трос масою так, що обидва його кінці звисають з барабана. Чому дорівнює кінетичний момент троса відносно осі обертання барабана?

7. В яких випадках кінетичний момент механічної системи чи його проекція на задану вісь залишаються сталими?

8. Як може сила тяжіння змінити кінетичний момент твердого тіла відносно вертикальної осі?

9. Запишіть диференціальне рівняння обертального руху твердого тіла.

10. В якому випадку тверде тіло рівномірно обертається навколо нерухомої осі?

11. За рахунок чого людина, що спочатку стояла нерухомо на гладкій горизонтальній площині, може повернутися навколо своєї вертикальної осі?