2. Аналітичні умови рівноваги систем збіжних сил

В основу аналітичних умов рівноваги систем сил покладено поняття проекції вектора на вісь.

Оберемо декартову прямокутну систему координат Oxyz, в якій розташована система збіжних сил (рис. 1.12), і спроектуємо на осі Ox, Oy і Oz вектори, що знаходяться в правій і лівій частинах рівняння (1.4).

; ,

(1.6)

Тут - проекції рівнодіючої на координатні осі х, у, z;

- проекції сили на ті ж осі.

Рис. 1.12

Рівність нулю вектора рівнодіючої можлива тільки тоді, коли кожна з її проекцій на координатні осі буде дорівнювати нулю, тобто . З цього виходить, що і праві частини рівнянь (1.6) повинні дорівнювати нулю:

; , .

(1.7)

Отже, для рівноваги просторової системи збіжних сил, прикладених до матеріальної точки або твердого тіла, необхідно і досить, щоб алгебраїчні суми проекцій всіх сил цієї системи на три взаємно перпендикулярні осі були рівними нулю.

Очевидно, що для рівноваги плоскої системи збіжних сил, розташованих, наприклад, в площині хОу, будемо мати тільки два рівняння:

; .

(1.8)

Умови рівноваги (1.7) і (1.8) називають також рівняннями рівноваги, так як вони дозволяють знаходити і невідомі сили, що зрівноважують задані. Потрібно мати на увазі, що кількість невідомих сил не повинна перевищувати кількість рівнянь рівноваги. У противному випадку задача стає статично невизначеною, і розв’язати її методами статики абсолютно твердого тіла неможливо.

7. Теорема Варіньона (терема про момент рівнодіючої збіжної системи сил)

Момент рівнодіючої системи збіжних сил відносно довільного просторового центра дорівнює векторній сумі моментів сил складових відносно того ж центра.

Розглянемо просторову систему збіжних сил , лінії дії яких перетинаються в точці С (рис.1.13)

З довільно обраного моментного центра А проведемо до точки сходу С радіус-вектор і підсумуємо моменти кожної сили відносно центра А:

Рис.1.13

.

Але і тому , або , що і потрібно було довести.

Теорема Варіньона справедлива не тільки для систем збіжних сил, вона узагальнюється і на будь-яку систему сил, що зводиться до рівнодіючої.

Для плоскої системи збіжних сил теорема формулюється так: момент рівнодіючої відносно точки площини, де розташована система сил, дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових відносно тієї ж точки. Тобто:

. (1.9)

Приклад практичного використання теореми Варіньона

Визначити моменти сил і , які розташовані в площині xAy, відносно точок А, В, D плоскої рамної конструкції АВСD, якщо відомі кути α, β і розміри а,b,c елементів рами.

Розв'язок.

Розкладемо сили і на складові, напрямлені вздовж координатних осей x і y. Модулі проекцій сил будуть:

,

,

,

.

Згідно з теоремою Варіньона для моментів сили відносно точок А, B і D справедливі рівняння:

	(1)
	(2)
	(3)

Проаналізуємо ці рівняння. Оскільки лінії дії складових сили перетинають моментну точку А (як і лінія дії самої сили ), то і момент сили відносно точки А .

Якщо за моментну точку взяти точку В, - рівняння (2) -, то складова сили перетинає цю точку і .а . Таким чином .

Для моментної точки D (рівняння 3) , , тому .

Пропонується моменти сили відносно точок А, В, D визначити самостійно.