1.10.2. Рівновага гнучкої нитки на негладкій циліндричній поверхні

До кінця А нитки, яка перекинута через нерухомий круглий циліндр, прикладена сила . Під дією сили нитка намагається ковзати по поверхні циліндра. Визначимо, яку мінімальну силу потрібно прикласти до другого кінця нитки, щоб утримати її в рівновазі при куті охоплення α і коефіцієнті тертя нитки об поверхню циліндра . Розглянемо рівновагу елемента DE нитки (рис.1.22), центральний кут якого DOE дорівнює . Різниця натягів елемента нитки в перерізах D і E зрівноважується силою тертя, максимальне значення якої , де - нормальна реакція елемента DE циліндра. Тобто маємо, що:

.

(а)

Складемо рівняння рівноваги сил, прикладених до елемента нитки, в проекції на вісь :

.

Рис.1.22

З огляду на мализну кута , можна прийняти, що . Тоді, при нехтуванні малими вищого порядку, отримаємо:

.

З урахуванням цього співвідношення рівняння (а) набуває вигляду:

, або .

Інтегруємо диференціальне рівняння по всій дузі охоплення: від точки В, де і , до точки А, де і :

.

Звідки:

і .

Потрібна утримуюча сила визначається рівнянням, яке називають формулою Ейлера:

.

(1.27)

З цієї формули виходить, що утримуюча сила не залежить від діаметра циліндра. Практично важливим є та обставина, що за рахунок збільшення кута охоплення можна значно зменшити утримуючу силу. Наприклад, натяг в 1 кН можна урівноважити силою 2Н, якщо двічі () обернути конопляний канат навколо дерев’яного стовпа.

За формулою Ейлера визначають натяги ведучої () і веденої () частин пасової передачі, яка часто використовується в сільгоспмашинах.

1.10.3. Тертя кочення

Тертям кочення називають опір, який виникає при коченні одного тіла по поверхні другого.

Нехай круглий циліндричний коток радіусом і вагою знаходиться на горизонтальній шорсткій площині. Прикладемо до осі котка певну силу . Тоді в точці стикання А котка з площиною, крім нормальної реакції повинна виникнути і сила тертя ковзання (), яка буде перешкоджати ковзанню котка по площині (рис.1.23).

Р ис.1.23

Але при такій схемі розташування сил утворюється нічим не зрівноважена пара сил (), яка повинна була б викликати кочення при будь-якій малій силі , чого реально не спостерігається.

Справа у тому, що через деформації поверхонь реальних стичних тіл їх торкання відбувається по певній площадці ВАD, причому інтенсивність тиску вздовж якої збільшується від краю В до краю D. В результаті реакція площини, що є рівнодіючою цих тисків, виявляється зміщеною у бік дії сили (рис. 1.24). Таким чином, до котка в стані рівноваги прикладені дві взаємно зрівноважені пари сил () і (). Перша з них прагне зрушити коток, друга – протидіє руху.

Рис.1.24

Доки коток знаходиться у рівновазі збільшення сили , а, відповідно, і пари (), викликає зростання протидіючої пари, момент якої називають моментом опору коченню, або моментом тертя кочення. Очевидно, що зростання момента опору коченню можливе тільки за рахунок збільшення відстані .

В стані граничної рівноваги і максимальний момент опору коченню:

,

(1.28)

де - нормальна складова повної реакції площини.

Коефіцієнт пропорційності , котрий має лінійну розмірність, називають коефіцієнтом тертя кочення. Його величина залежить від матеріалу тіл, фізичного стану їх поверхонь і визначається експериментально.

Якщо активні сили, що діють на коток, звести до точки контакту А з площиною (деформаціями котка і поверхні нехтуємо), то в загальному випадку дістанемо головний вектор сил і головний момент . Головний вектор прагне змусити коток ковзати, а головний момент – котитися (рис.1.25).

Рис. 1.25

Для того, щоб коток не котився, необхідно виконання умови:

.

(1.29)

Для того, щоб коток не ковзав, необхідно, щоб:

або:

.

(1.30)

Таким чином, відсутність ковзання і кочення буде зберігатися при одночасному виконанні умов (1.29) і (1.30).

Кочення без ковзання відповідає такому співвідношенню:

.

(1.31)

Активні сили, які прикладені до котків у вигляді коліс (рис.1.26), крім сили ваги звичайно складаються із сили , прикладеної до центра колеса, паралельно спільній дотичній в точці А, і пари сил з моментом , що прагне котити колесо.

Колеса, для яких і , називають ведено-ведучими; якщо , то колесо називають веденим; при і колесо є ведучим.

Рис.1.26

Питання для самоконтролю

1. Якими причинами можна пояснити виникнення тертя ковзання?

2. Від чого залежить величина сили тертя ковзання при спокою і в яких межах вона змінюється?

3. Що являє собою конус тертя і яку знаменну властивість має область у середині його?

4. Поясніть причини виникнення тертя кочення.

5. Від яких факторів залежить величина опору коченню і в яких межах змінюється момент сил опору коченню?

6. У чому полягає фізична різниця між коефіцієнтами тертя ковзання і кочення?

7. За якими формулами визначаються максимальна сила тертя ковзання спокою і максимальний момент сил опору коченню?

8. При яких умовах кочення відбувається без ковзання?

9. При яких умовах кочення буде відбуватися із ковзанням?

10. Коток радіуса котиться без ковзання по площині, що розташована під кутом до горизонту. Визначити коефіцієнт тертя кочення.

11. При відомих коефіцієнтах тертя ковзання і кочення котка радіуса визначити умови початку: а) чистого кочення і б) чистого ковзання котка на площині, що нахилена під кутом до горизонту.

12. Наведіть математичний вираз умови рівноваги гнучкого тіла на негладкій циліндричній поверхні (формула Ейлера).