§ 2.6. Барометрична формула. Розподіл Больцмана частинок у потенціальному полі

Атмосферний тиск на висоті h над Землею зумовлений вагою шарів повітря, що знаходяться на більших від h висотах. Позначимо тиск на висоті h через р. Тоді

Рис. 2.4

, (2.19)

F – вага циліндричного стовпа повітря, S – площа основи циліндра (див. рис.2.4). На висоті h+dh тиск буде p+dp, причому на основі виразу (2.19)

.

Із збільшенням висоти h вага верхнього стовпа повітря зменшується , а вага нижнього стовпчика (заштрихованого на рис. 2.4) зростає на стільки ж . Тому .

Далі

,

де dm – маса молекул повітря в заштрихованому елементарному об’ємі dV, g – прискорення вільнопадаючих тіл, – густина повітря на висоті h. Видно, що при виведенні співвідношення

(2.20)

зміною і g в об’ємі dV знехтувано.

Повітря мало відрізняється від ідеального газу при звичайних умовах, тому

(2.21)

(див. формулу (2.4) з відповідними позначеннями). Молярна маса повітря (визначена на основі співвідношення (2.9) з урахуванням процентного вмісту азоту, кисню та інших газів).

Підставимо вираз (2.21) у рівняння (2.20) і одержане співвідношення розділимо на р. В результаті маємо

.

Будемо вважати нижче величини Т і g незалежними від h (таке допущення годиться для невеликих висот). Тоді останнє рівняння є диференціальним рівнянням з розділеними змінними. Інтегруючи його, маємо

,

с – деяка постійна величина. Потенціюємо тепер одержане співвідношення і одержимо

Рис.2.5

.

Нехай на поверхні Землі (h=0) p=p₀. Тоді с=р₀ і остаточно маємо

. (2.22)

Формула (2.22) називається барометричною. З неї випливає, що тиск газу зменшується з висотою за експоненціальним законом, причому тим швидше, чим важчий газ і чим нижча температура. Залежність атмосферного тиску від висоти графічно відображена на рис.2.5. Оцінка на основі виразу (2.22) дає, що при підйомі на 6км тиск падає приблизно у два рази.

Виразимо тепер у формулі (2.22) тиск через концентрацію молекул на основі рівняння стану (2.7):

( тут концентрація молекул на висоті , а не стала Лошмідта!). Перейдемо також від молярної маси до маси однієї молекули за відомим зв’язком . Тоді матимемо

. (2.23)

Останній вираз дає розподіл концентрації молекул в залежності від висоти над Землею, а саме: із збільшенням висоти концентрація зменшується. Якби абсолютна температура була рівна нулю, то концентрація молекул в атмосфері теж була б рівною нулю, всі вони упали б на Землю під дією сили тяжіння. Саме хаотичний тепловий рух молекул утримує атмосферу.

На висоті h кожна молекула володіє у полі тяжіння потенціальною енергією , тому співвідношення (2.23) можна записати ще так:

. (2.24)

Молекули розміщуються густіше там, де менша їх потенціальна енергія. Больцман довів, що розподіл частинок за їх потенціальними енергіями (2.24) є універсальним, тобто годиться для будь-якого потенціального поля сил, а не лише для поля тяжіння. Тому вираз (2.24) називають розподілом Больцмана.

§ 2.7. Внутрішня енергія системи. Теплота і робота

Під внутрішньою енергією системи розуміють сумарну енергію частинок, з яких складається система. Сюди входить кінетична і потенціальна енергія молекул, енергія коливальних рухів атомів у молекулах, енергія електронних оболонок в атомах та іонах і внутрішньоядерна енергія. До внутрішньої не відноситься енергія системи як цілого, яку вона може мати в результаті механічного руху або взаємодії з іншими системами.

Внутрішня енергія є функцією стану системи, тобто змінюється із зміною стану системи і однозначно визначається тими самими параметрами, що й стан системи. Внутрішня енергія не залежить від способу, яким система переводиться з одного стану в інший. Це випливає із закону збереження і перетворення енергії, бо інакше, якби внутрішня енергія залежала від способу переходу системи з одного стану в інший, це означало б, що можна дістати енергію з нічого.

У термодинаміці практичне значення має не сама енергія, а її зміна з переходом системи зі стану в стан. У межах термодинамічних процесів внутрішня енергія змінюється тільки за рахунок зміни енергії теплового руху (тобто кінетичної енергії) частинок речовини та їх потенціальної енергії взаємодії. Енергія електронних оболонок атомів та іонів і внутрішньоядерна енергія при цьому залишаються незмінними і не становлять будь-якого інтересу. Тому вужче під внутрішньою енергією в термодинаміці розуміють лише сумарну енергію теплового руху частинок речовини та їх потенціальну енергію взаємодії.

Внутрішню енергію системи можна змінювати двома способами: виконанням механічної роботи і шляхом теплообміну. Наприклад, тиск газу в циліндрі під поршнем і, відповідно, енергію газу можна збільшити або переміщенням поршня і виконанням макроскопічної роботи над газом, або нагріванням газу при нерухомому поршні, тобто завдяки теплообміну газу з нагрівником через дно чи стінку циліндра. При теплообміні зміна внутрішньої енергії зумовлена тим, що окремі молекули гарячого тіла виконують роботу (мікроскопічну) над окремими молекулами холодного тіла. Теплообмін може відбуватися і через дотик тіл, і на відстані, за допомогою електромагнітного випромінювання (наприклад, між Сонцем і Землею). В загальному випадку теплообмін – це сукупність мікроскопічних процесів, що призводять до передачі енергії від тіла до тіла. Величина енергії хаотичного теплового руху молекул, що передається від одного тіла до другого шляхом теплообміну, називається кількістю теплоти. Таким чином, кількість теплоти є мірою процесу теплообміну, мірою зміни енергії невпорядкованого руху. Механічна робота (фізична величина) є мірою зміни і енергії впорядкованого руху (механічної енергії), і енергії невпорядкованого руху (внутрішньої енергії) тіл. Як робота, так і кількість теплоти не є функцією стану системи і має зміст лише у процесі перетворення (зміни) енергії.

Часто плутають поняття кількості теплоти з поняттям теплової енергії. Останнє – це сумарна енергія теплового руху частинок у тілі (частина внутрішньої енергії тіла), вона є функцією температури. Наприклад, вода і її пара при температурі кипіння мають однакову теплову енергію, хоча щоб перевести рідину в пару, треба надати їй деякої кількості теплоти. Ця кількість теплоти є мірою збільшення внутрішньої енергії пари, а не теплової енергії системи рідина-пара.

Кількість теплоти і робота, як величини, що визначають зміну внутрішньої енергії системи, у реальних процесах можуть бути взаємно зв’язаними і визначати одна одну.