§ 1.25. Правила додавання швидкостей в релятивістській механіці
Спираючись
на перетворення Лоренца, знайдемо
зв’язок між швидкостями тіла в двох
інерціальних системах відліку (
і
).
Розглянемо простий випадок, коли тіло
рухається паралельно до осі
(або
).
Тоді
;
;
,
відповідно
;
;
.
За
означенням швидкості
,
.
Продиференціюємо перше і четверте рівняння перетворень Лоренца
;
.
Поділимо почленно ліві і праві частини отриманих рівнянь
.
Замінивши похідні відповідними компонентами швидкості, дістанемо
.
Отже,
або
.
Отримані формули виражають правило додавання швидкостей в релятивістській механіці.
Нехай
і
.
Тоді
.
Бачимо,
що результуюча швидкість
не перевищує швидкості світла у вакуумі.
Отже, швидкість світла у вакуумі є
граничною швидкістю. І ніякі дослідні
факти в сучасній фізиці не заперечують
висновку про те, що швидкість світла у
вакуумі є межею можливих швидкостей в
природі.
§1.26 Релятивістський імпульс
Згідно
з принципом відносності Ейнштейна
закони природи повинні бути інваріантними
відносно перетворень координат Лоренца.
На прикладі центрального абсолютно
непружного зіткнення двох однакових
зустрічних тіл з масами
і швидкістю
можна переконатись, що закон збереження
імпульсу не виконується в системі
,
коли під імпульсом тіла (точки) розуміти
ньютонівський вираз
,
(1.86)
де
– звичайна тримірна швидкість точки в
евклідовому просторі.
Якщо
врахувати, що 4-мірний простір теорії
відносності
– псевдоевклідовий (ні
,
ні
у ньому не є інваріантами), виникає
припущення, що при швидкостях близьких
до
імпульс точки повинен визначатися
по-іншому. Існує величина
,
споріднена з
– власний час події, її характерна
особливість – вона є інваріантом
перетворень Лоренца. Логічно припустити,
що більш загально виражати імпульс
співвідношенням
.
(1.87),
Але
,
тому
(1.88).
Це
і є релятивістський імпульс точки, який
при
переходить у ньютонівський вирах (1.86)
в узгодженні з принципом відповідності.
Крім того, саме вираз (1.88) забезпечує
інваріантність закону збереження
імпульсу відносно перетворень Лоренца.
§1.27 Основний закон динаміки теорії відносності. Релятивістська енергія
Якщо у вираз ІІ закону Ньютона
підставити релятивістський імпульс (1.88), одержимо основний закон динаміки теорії відносності
(1.89).
Суттєво,
що у релятивістському випадку маса
втрачає зміст коефіцієнта пропорційності
між прискоренням і силою. На відміну
від ньютонівської механіки сила
у релятивістській механіці не є
інваріантною; крім того, прискорення
і сила
виявляються
не колінеарними. Можна показати, що
зв’язок між
та
має вигляд:
, (1.90)
де
.
У
випадку
,
;
у випадку
,
.
На
основі теореми про зміну кінетичної
енергії
і релятивістського основного закону
динаміки (1.89), можна отримати
.
Легко
переконатися, що останній вираз є
.
Отже,
.
Тому
.
При
,
тому
,
тобто
.
(1.91)
Це
– формула кінетичної енергії тіла в
теорії відносності. Розкладаючи вираз
(1.91) у ряд легко переконатись, що при
отримується класичний вираз для
кінетичної енергії
.
Закон
збереження енергії виявляється
інваріантним відносно перетворень
координат Лоренца тільки у випадку,
коли вільній частинці, крім кінетичної
енергії, приписати ще додатково енергію
.
Тому вільна частинка має повну енергію
.
(1.92)