П. 12 Основные задачи векторной алгебры

Определение 1. Геометрическим местом точек (ГМТ) на плоскости или в пространстве называется множество точек, обладающих заданным свойством, причём никакие другие точки этим свойством не обладают.

Определение 2. Уравнение называется уравнением соответствующего ГМТ относительно заданной системы координат, если при подстановке координат точек в уравнение ГМТ получается верное равенство.

П. 12.1 Плоскость в пространстве

Характеристика:

Любая плоскость задаётся своей нормалью (вектором, ортогональным данной плоскости) и точкой , лежащей на этой плоскости.

Базовая задача:

Возьмём произвольную точку . Вектор лежит на плоскости . Так как , то . Тогда . Раскрывая скобки, получим . Обозначим . Тогда уравнение называют общим уравнением плоскости.

Существуют и другие уравнения плоскости:

1. Уравнение плоскости в векторной форме: , где – нормальный вектор данной плоскости, – радиус-вектор точки .

2. Нормальное уравнение плоскости. Так как , то , где: – направляющие косинусы нормального вектора , направленного из начала координат в сторону плоскости;

– расстояние от начала координат до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости получается путём умножения общего уравнения на нормирующий множитель , где , (signum - знак).

3. Уравнение плоскости в отрезках: , где – величины отрезков, которые отсекает плоскость на осях , , соответственно.

Основные задачи

1. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть точки , , различные и не лежат на одной прямой. Выберем произвольную точку так, чтобы три вектора были компланарны. Используем критерий компланарности трёх векторов. Тогда уравнение является уравнением искомой плоскости .

2. Угол между двумя плоскостями.

Определение 1. Пусть две плоскости и заданы общими уравнениями и . Под углом между двумя плоскостями и будем понимать угол между нормалями к этим плоскостям. Тогда:

.

Условие перпендикулярности плоскостей и : .

Условие параллельности плоскостей и : коллинеарные, т.е. .

3. Расстояние от точки до плоскости.

Если плоскость задана нормальным уравнением , то отклонением точки от плоскости называют . Знак указывает на взаимное расположение точки на плоскости и начала координат, а именно:

а) если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости , то ,

б) если и начало координат находятся по одну сторону от плоскости , то .

4. Расстояние от точки до плоскости определяется равенством .

Итак, .

П. 12.2 Прямая на плоскости

Характеристики:

• нормальный вектор и точка;

• направляющий вектор и точка.

Базовые задачи:

1. Если на плоскости задана некоторая система координат, то прямую можно провести через точку перпендикулярно вектору , называемого

нормалью к данной прямой. Тогда, выбрав произвольную точку так, чтобы векторы и были перпендикулярны, получим уравнение прямой :

, .

Обозначим через . Тогда уравнение называется общим уравнением прямой .

2. Проведём прямую через точку параллельно вектору , который называют направляющим вектором прямой . Выберем произвольную точку так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда – каноническое уравнение прямой.

Из последнего уравнения также можно получить общее уравнение прямой , заметив, что векторы и перпендикулярны, причём , .