П. 7 Скалярное произведение векторов

Определение 1. Скалярным произведением векторов и называется операция (результат операции), ставящая в соответствии упорядоченной паре векторов и скаляр, равный произведению длин векторов на косинус угла между ними. .

Замечание.  Из определения скалярного произведения, следует, что .

Замечание.  Заметим, что . Если взять вектор такой, что , то . Таким образом, скалярное произведение одного вектора на другой, имеющий единичную длину, равно проекции первого вектора на направление, определяемое вторым. В этом заключается геометрический смысл скалярного произведения.

Замечание.  Механический смысл скалярного произведения. Если рассмотреть действия силы на материальную точку при её перемещении по вектору , то работа , совершаемая этой силой равна: .

Свойства скалярного произведения:

1. Коммутативность: .

Доказательство: . ■

2. Унитарность: , причём тогда и только тогда, когда .

Доказательство: . ■

3. Однородность: .

Доказательство: . ■

4. Дистрибутивность: .

Доказательство: . ■

Замечание. « однородность + дистрибутивность = линейность».

Теорема1. Критерий ортогональности

Пусть векторы и . Тогда тогда и только тогда, когда .

Пример.  В треугольнике медиана перпендикулярна биссектрисе, причём . Найти угол.

Решение:

Обозначим , , и . Тогда . Выразим .

Известно, что биссектриса угла делит противолежащую сторону в отношении, равном отношении длин прилежащих сторон. Таким образом, . По условию, , т.е. .

Так как , , то . (В этом можно было убедиться и геометрически: по условию задачи, в биссектриса является и высотой, а значит, – равнобедренный, т.е. ).

Таким образом, ,. Следовательно, . Отсюда находим .

П. 8 Скалярное произведение в дпск

Рассмотрим векторы и в ДПСК . Из определения скалярного произведения для базисных векторов имеем: , или

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

Тогда

.

Итак, . Заметим, что . Тогда , а также .

Наличие обратной операции

Пусть даны вектор и скалярное произведение . Можно ли найти вектор ?

Как было показано, . Все векторы лежат на конусе, осью которого является носитель вектор (прямая, на которой лежит вектор), т.е. таких векторов бесконечно много.

Таким образом, обратная операция не определена.

П. 9 Орт вектора. Направляющие косинусы вектора

Определение 1. Косинусы углов, которые вектор образует с базисными ,,, называются направляющими косинусами вектора . Обозначают , , .

Определение 2. Ортом вектора называется вектор , имеющий единичную длину и тоже направление, что и вектор : .

Покажем, что координатами орта вектора являются его направляющие косинусы.

Пусть . Рассмотрим . С другой стороны, . Следовательно, . Аналогично можно показать, что , . Заметим, что .

П. 10 Векторное произведение векторов

Определение  1. Рассмотрим некоторую произвольную тройку некомпланарных векторов ,,, приведённых к точке . Тройка векторов ,, называется правой, если для неё выполняется правило буравчика: глядя с конца вектора и , можно увидеть, что кратчайший поворот от к происходит против часовой стрелки.

Определение  2. Векторным произведением векторов называется операция (результат операции), которая любой упорядоченной паре векторов  и  ставит в соответствие вектор , обладающий следующими свойствами:

1. ;

2) вектор ортогонален каждому

из и ;

3. ,, – правая тройка;

4. если и - коллинеарные, то =.

Замечание.  Геометрический смысл векторного произведения двух векторов и состоит в том, что модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Замечание. Механический смысл векторного произведения. Если вектор изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор

идёт из некоторой точки О в точку М, то вектор представляет собой момент силы относительно точки О.