Алгоритм обратной матрицы
Опишем алгоритм применительно к решению ЗЛП, записанной в канонической форме с односторонними ограничениями:
Пусть
известен начальный опорный
план
с
базисом
,
т.е.
- базисные компоненты,
-
небазисные компоненты.
В
данном методе все параметры итерации,
необходимые для оценки плана на
оптимальность и перехода к лучшему
плану, вычисляются через элементы
обратной матрицы
.
Поэтому второй алгоритм симплекс-метода
также называют алгоритмом обратной
матрицы.
Вычисления удобно выполнять, используя две симплекс-таблицы:
Основная таблица
|
№ |
|
P |
|
|
… |
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
Вспомогательная таблица
|
№ |
|
|
… |
|
|
1 |
|
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
0 |
|
|
… |
|
|
1 |
|
|
… |
|
|
2 |
|
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
Порядок вычислений по второму алгоритму
Шаг 1.
Найти обратную матрицу
и заполнить её элементами
столбцы
,
основной симплекс-таблицы.
Шаг 2.
Вычислить
значение линейной
формы
как
скалярное произведение столбцов
и
основной
таблицы. Результат занести в
строку столбца
основной симплекс-таблицы.
Шаг 3.
Вычислить
значения
элементов вектора-строки
по формуле
,
как скалярное произведение столбцов
и
основной симплекс-таблицы. Полученными
значениями заполнить
-ю
строку основной симплекс-таблицы.
Шаг 4.
Найти значения оценок
векторов условий
относительно базиса по формуле
,
,
как произведение вектора-строки
основной таблицы на соответствующий
столбец
вспомогательной таблицы минус
соответствующий коэффициент
линейной формы, записанный в
-ой
строке вспомогательной таблицы.
Полученные значения занести в строку
вспомогательной таблицы с номером,
соответствующим номеру выполняемой
итерации.
Шаг 5. Проверить оптимальность опорного плана.
-
Если все оценки неотрицательные (
),
то
-
оптимальный опорный план и, тогда, в
столбце
основной симплекс-таблицы записано
решение ЗЛП, а именно, значения базисных
компонент оптимального опорного плана
и соответствующее ему максимальное
значение линейной формы. На этом процесс
решения ЗЛП завершается. -
Если среди оценок найдутся отрицательные (
),
то для построения нового опорного плана
необходимо найти вектор, который будет
вводиться в базис. Он определяется по
номеру наименьшей отрицательной оценки
и, таким образом, устанавливается
разрешающий
столбец
.
Шаг 6. Вычислить
коэффициенты разложения
вектора
по базису
,
используя формулу
,
как произведение
-ой
строки обратной матрицы
из основной таблицы на столбец
вспомогательной таблицы. Полученные
значения занести в столбец
основной симплекс-таблицы.
Шаг 7. Определить
вектор, выводимый из базиса. Для этого
необходимо заполнить столбец
основной таблицы значениями
путем деления элементов столбца
основной таблицы на соответствующие
им по номеру элементы столбца
основной таблицы.
-
Если все
,
то исходная задача неразрешима в силу
неограниченности сверху линейной формы
.
На этом процесс решения ЗЛП завершается. -
Если
,
то необходимо выбрать
.
Пусть им оказался элемент с номером
,
т.е.
.
Тогда соответствующий этому индексу
вектор
должен выводиться из базиса. Элемент
является «разрешающим». На этом нулевая
итерация завершена и надлежит приступить
к выполнению следующей итерации.
Шаг 8. Для заполнения новой основной таблицы вычислить по рекуррентным формулам новые значения параметров итерации.
-
Заполнить
-тую
строку новой основной таблицы элементами
,
,
получающимися делением соответствующих
элементов (
)
-той
строки старой основной таблицы на
разрешающий элемент
,
т.е. по формулам
.
-
Все остальные
-тые
строки главной части новой основной
симплекс-таблицы получить как результат
вычитания из
-той
строки старой основной симплекс-таблицы
-той
строки новой симплекс-таблицы, умноженной
на соответствующий
-тый
элемент разрешающего столбца
старой основной симплекс-таблицы, т.е.
в соответствии с рекуррентными формулами
.
По аналогичным формулам могут быть
вычислены также и элементы
-й
строки:
.
Описанный процесс построения симплекс-таблиц повторяется до получения оптимального опорного плана или до установления неограниченности линейной формы, т.е. неразрешимости ЗЛП.
О конечности симплекс - метода
Пусть ЗЛП является
невырожденной. Тогда на каждом шаге
симплекс – метода будем иметь
.
Процесс расчета будет состоять в переходе
,
где два соседних
базиса отличаются лишь одним вектором.
Например, переход от
к
осуществлен введением вектора
.
При этом линейная форма изменится так:
,
т.к.
и
.
Таким образом, при
переходе от одного опорного плана к
другому в невырожденной задаче линейная
форма возрастает. Поэтому невозможен
возврат к старому опорному плану, т.е.
каждый шаг симплекс – метода приводит
к новому, ранее не встречавшемуся,
опорному плану. И поскольку число опорных
планов (вершин многогранного множества
)
конечно, то в невырожденной задаче через
конечное число шагов либо устанавливается
неограниченность линейной формы, либо
получается оптимальный план.
Пусть ЗЛП является
вырожденной. Тогда у вырожденного
опорного плана может быть
(но не обязательно) и поэтому может быть
.
Не приведет ли это
к бесконечному числу шагов? В силу
конечности числа вершин множества
это может быть лишь тогда, когда через
несколько шагов мы вернемся к исходному
базису. Следовательно, должны встречаться
цепочки
в которых начальное
и конечное звенья совпадают, т.е.
.
Такие цепочки называются циклами. Для
них
.
Но так как любые соседние опорные планы
доставляют значение линейной формы
,
то, очевидно,
.
Таким образом, цикл означает переход от одного базиса опорного плана к другому базису того же вырожденного опорного плана. Причем, через некоторое число таких переходов имеет место возвращение к ранее встретившемуся базису. В случае образования цикла, т.е. зацикливания, всегда можно выйти из него, специальным образом выбрав «разрешающий элемент».