Классический метод решения задачи одномерной оптимизации

Под классическим методом подразумевается подход к поиску точек экстремума функции, который основан на дифференциальном исчислении. Из математического анализа известны необходимые и достаточные условия экстремума функции одной переменной.

Пусть функция кусочно-непрерывна и кусочно-гладка на отрезке . Это значит, что на отрезке может существовать лишь конечное число точек, в которых либо терпит разрыв первого рода, либо непрерывна, но не имеет производную. Тогда как известно точками экстремума функции на могут быть лишь те точки, в которых выполняется одно из следующих условий: 1) либо терпит разрыв: 2) либо непрерывна, но производная не существует; 3) либо производная существует и равна нулю; 4) либо граничные точки отрезка . Все такие точки принято называть точками, подозрительными на экстремум.

Поиск точек экстремума функции начинают с нахождения всех «подозрительных» точек. После того как все эти точки найдены, проводят дополнительное исследование и отбирают среди них те, которые являются точками локального минимума или максимума. Для этого обычно исследуют знак первой производной в окрестности подозрительной точки. Для того, чтобы подозрительная точка была точкой локального минимума, достаточно, чтобы существовала такая окрестность , что при и при . Если же при и при , то точка - точка максимума функции .

Если найдется такое положительное , что сохраняет неизменный знак при , то точка не является точкой экстремума функции .

В тех случаях, когда удается вычислить в подозрительной точке производные второго и более высокого порядков, то применяют достаточное условие более общего вида. А именно, пусть известны производные , ,…, , причем при , а , . Если - четное число, то в случае в точке реализуется локальный минимум, а в случае - локальный максимум. Если же нечетно, то при в точке не может быть локального экстремума, при (или ) в случае в точке имеем локальный минимум (максимум), а в случае - локальный максимум (минимум).

Чтобы найти глобальный минимум (максимум) функции на , нужно перебрать все точки локального минимума (максимума) на и среди них выбрать точку с наименьшим (наибольшим) значением функции, если таковое существует.

Поскольку применение достаточных условий требует вычисления высших производных функции , то в вычислительном плане проще сравнить значения во всех стационарных точках, не интересуясь их характером. С учетом этого можно предложить следующий алгоритм классического метода для решения задачи одномерной оптимизации (2.1).

Шаг 1. Найти все точки, подозрительные на экстремум, в том числе и стационарные точки, т.е. корни уравнения

. (2.6)

Пусть это будут точки . Положить , .

Шаг 2. Вычислить значения функции в точках , .

Шаг 3. Найти . Положить .

Пример 2.5. Решить задачу классическим методом.

Шаг 1. Находим корни уравнения из интервала : , . Полагаем , .

Шаг 2. Вычисляем значения в точках , : , , , .

Шаг 3. Находим =-17=. Поэтому , .

Классический метод решения задачи (2.1) следует использовать в тех случаях, когда достаточно просто удается выявить все подозрительные точки и реализовать достаточные условия. Однако, этот метод имеет весьма ограниченное применение. Дело в том, что вычисление производной в практических задачах зачастую является непростым делом. Например, может оказаться, что значение функции определяются из наблюдений или каких-либо физических экспериментов, и получить информацию о ее производной крайне затруднительно. Но даже в тех случаях, когда производную все же удается вычислить, решение уравнения (2.6) и выявление других точек, подозрительных на экстремум, может быть связано с серьёзными трудностями. Поэтому важно иметь также и другие методы решения задачи (2.1) не требующие вычисления производных, более удобные для программной реализации.