Умова колінеарності

З означення дії множення вектора на число випливає умова колінеарності векторів:

Для того щоб вектори і були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними, тобто .

Приклад: а) Чи колінеарні вектори і _?

б) Знайти , якщо і _{- колінеарні.}

Розв’язування:

а) Оскільки , то .

б) ; .

Скалярний добуток

Скалярний добуток векторів і – це число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто

Скалярний добуток векторів і дорівнює сумі добутків їх відповідних координат, тобто

З означення скалярного добутку векторів випливає, що:

1. Довжина вектора дорівнює кореню квадратному із скалярного квадрата вектора, тобто

В алгебраїчній формі довжина вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат, тобто

2. Косинус кута між векторами обчислюється за формулою:

, або .

3. Вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто

або .

Приклад:

а) Знайти скалярний добуток векторів і _{, якщо , .}

б) Знайти довжину вектора _.

в) Знайти кут між векторами і

г) Чи перпендикулярні вектори і _.

д) Знайти , якщо і _{– перпендикулярні.}

Розв’язування:

а) .

б) .

в) .

г) Знайдемо Оскільки , то .

д) . Звідси .

Завдання для самостійного розв’язування

3.1. Задані вектори і .

Знайти: а) ;

б) ;

в) ;

г) ; .

3.2. Знайти , якщо вектори і – колінеарні.

3. Знайти , якщо вектори і –перпендикулярні.

Відповіді: 3.1. а) ;

б) ;

в) ;

г) ; .

3.2. .

3.3. .

§4. Найпростіші задачі аналітичної геометрії

Задача 1. Обчислення координат вектора.

Знайти координати вектора , якщо відомі координати його початку і кінця .

Розв’язування.

y A B 0 x

Оскільки , , , то: .

Таким чином, щоб знайти координати вектора, треба від координат кінця відняти відповідні координати початку.

Приклад:

, . Тоді: .

Задача 2. Відстань між двома точками.

Знайти відстань між двома точками площини, якщо відомі координати точок і .

Розв’язування.

Оскільки відстань між двома точками і є довжиною вектора

, то

.

Приклад:

, . Тоді:

.

Задача 3. Поділ відрізка в заданому відношенні.

Знайти координати точки , яка ділить відрізок у відношенні , тобто: .

Розв’язування.

y x	Нехай задані координати точок і . Знайдемо координати точки . Розглянемо вектори: .

Оскільки , то .

Звідси: ,

, . Аналогічно: .

Зауваження:

1. У формулах треба розрізняти координати початку та кінця відрізка.

2. Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців. Дійсно, , і

, .

Приклад. Знайти координати точки перетину медіан трикутника, якщо координати його вершин , , .

Розв’язування.

Медіана трикутника – це відрізок, який з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

Якщо обрати вершину , то точка – середина протилежної сторони і має координати:

, .

Тобто .

Відомо, що точка перетину медіан ділить кожну з них у відношенні , починаючи з вершини.

Тобто: .

Тому .

Аналогічно: .

Отже, .

Зауваження: точку перетину медіан можна знайти за формулою:

; .

Доведіть самостійно.