- •Розділ I. Лінійна алгебра
- •§1. Матриці. Різновиди матриць. Дії над матрицями
- •Дії над матрицями
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§ 2. Визначники, їх властивості.
- •Властивості визначників
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§3. Обернена матриця
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера
- •Матричний метод
- •Метод Крамера
- •Завдання для самостійного розв’язування.
- •§5. Ранг матриці і його обчислення
- •Методом елементарних перетворень
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§6. Дослідження і розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Розділ іі. Аналітична геометрія
- •§1. Метод координат
- •§2. Елементи векторної алгебри
- •Основні означення
- •§3. Дії над векторами
- •Умова колінеарності
- •Скалярний добуток
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Найпростіші задачі аналітичної геометрії
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§5. Рівняння лінії
- •§6. Пряма лінія
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої)
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
- •Рівняння прямої у відрізках на осях
- •Відстань від точки до прямої
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§7. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •§8. Криві іі порядку
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи
- •Рівнобічна гіпербола
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Відповіді:
Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи
Модуль різниці фокальних радіусів є величина стала, що дорівнює дійсній осі:
.
Зауважимо, що цю властивість можна прийняти як геометричне означення гіперболи.
б) рівняння визначає так звану „спряжену” до випадку а) гіперболу з дійсною віссю – на прямій (див. рис.6):
F1 M
(x, y)
y
F2
x 0 B1 B2 A1 A2 b b a a O’ y = y0 x = x0 Рис.6 |
Параметри аналогічні гіперболі а) , тільки: – уявна, – дійсна півосі; фокуси і вершини знаходяться на прямій ; ексцентриситет .
Наприклад: ; гіперболічний випадок
; ;
;
;
;
; ;
– гіпербола. (рис.7)
Схематична побудова:
х у 3 F2 F1 2,2 3,7 Рис.7 3,7 |
Параметри: центр ; – уявна, – дійсна півосі; фокуси – на прямій ; відстань від центра до фокусів .
|
2. Якщо , то ліву частину рівняння (8.2) можна розкласти на множники як різницю квадратів:
,
тому рівняння визначатиме на площині дві прямі (вироджена гіпербола).
Наприклад: ;гіпербола;
;
;
;
–1 3 1 х y 5 l1 l2 Рис.8 |
; ; ; – дві прямі
(рис.8) |
Рівнобічна гіпербола
Розглянемо рівнобічну гіперболу з центром у точці :
або (рис.9)
а а y x x’ y’ Рис.9 |
Очевидно, асимптотами рівнобічної гіперболи є бісектриси І, ІІІ і ІІ, ІV координатних кутів, які визначаються рівняннями і . Розглянемо рівняння гіперболи в новій системі координат , зробивши поворот старої системи на кут . При цьому ; : ; |
; ; або , де .
Висновок: Графіком функції (оберненої пропорційної залежності) є рівнобічна гіпербола. Неважко показати, що графіком дробово–лінійної функції теж є рівнобічна гіпербола.
Наприклад: побудувати графік функції .
y x 2 1 x = 1 y = 2 O’ 0 Рис.10 |
Виконаємо перетворення: ; ; ; – рівнобічна гіпербола з центром ;
асимптоти – прямі і (див. рис.10) |
ІІІ. Параболічний випадок ()
1. Нехай . Якщо коефіцієнт при у загальному рівнянні (8.1) відмінний від нуля (), то, виділяючи повний квадрат по змінній , рівняння зводиться до одного із видів:
а) (рис.11) або
б) (рис.12) – нормальні рівняння параболи, які визначають на площині такі криві:
y
а
x = x0
– p/2
F p/2 p/2
y = y0
O’
x 0
x = x0
Рис.11
|
y x 0 x = x0 x = x0
+ p/2 б
y = y0 p/2 p/2 F Рис.12 |
Параметри парабол: – вершина; – фокус, – параметр, який дорівнює відстані від фокуса до директриси: для а) – пряма , для б) – пряма ; вітки параболи симетричні відносно осі параболи – прямої і направлені у випадку а) вправо, а у випадку б) вліво.