5. Эквивалентность высказываний (Эквиваленция).

Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний Х, У называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания Х, У, либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.

Эквиваленция высказываний Х, У обозначается символом (или , ~), читается «Х эквивалентно У» или « для того, чтобы Х, необходимо и достаточно, чтобы У», или «Х тогда и только тогда, когда У».

Логические значения операции эквиваленции описываются следующей таблицей истинности:

Х	У
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

С помощью логических операций над высказываниями из заданной совокупности высказываний можно строить различные сложные высказывания.

Например, для формулы таблица истинности имеет вид:

1 1 0 0	1 0 1 0	0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 1 1	0 1 0 0	0 1 0 0

\

Законы логических операций

Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе входящих в формулы элементарных высказываний. Равносильность формул будем обозначать знаком , а запись А В означает, что формулы А и В равносильны.

Формула А называется тождественно истинной (или тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в неё переменных.

Формула называется тождественно ложной (или противоречием), если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в неё переменных.

Между понятиями равносильности и эквивалентности существует следующая связь: если формулы А и В равносильны, то формула АВ – тавтология, и обратно, если формула АВ – тавтология, то формулы А и В равносильны.

Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы.

1. Основные равносильности.

законы идемпотентности.

- закон противоречия

- закон исключенного третьего

- закон снятия двойного отрицания

законы поглощения

2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

1. 4. .

2. . 5. .

3. . 6. .

Здесь 3, 4, 5, 6 – законы Моргана.

Ясно, что равносильности 5 и 6 получаются из равносильностей 3 и 4, соответственно, если от обеих частей последних взять отрицания и воспользоваться законом снятия двойного отрицания.

§ 2. Понятие множества

Множество и элемент множества относятся к числу первичных понятий.

Множество – это синоним слова совокупность, или набор предметов.

Примеры множеств:

• Множество книг,

• множество студентов,

• множество чисел,

• множество точек,

• множество линий и др.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, С, X, Y.... .

а элементы множества строчными буквами:

Если множество A состоит из элементов

это обозначается

Если есть элемент множества A ,

то это записывают: .

Если d не является элементом множества A ,

то пишут .

Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают.

Способы задания множеств.

– перечислением всех его элементов

– заданием общей характеристики элементов

т.е. если «множество A состоит из элементов x, обладающих свойством f», то принято писать:

.

Например:

,

,

Множества А и В называются  равными А = В, если они состоят из одних и тех же элементов.

 

Множество А  является подмножеством множества  В,

если каждый элемент множества  А одновременно является элементом множества  В, и обозначают.

Пример:

Пусть .

Найти все подмножества множества А.

Объединение множеств  А и В есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А, либо В. обозначается 

Пример:

Пусть , .

Найти .

Пересечение множеств  А и В есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А, и В и обозначается 

Пример:

Пусть , .

Найти .

Разность множеств А и В ( пишется  А \ В ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

A\B

 Пример:

Пусть , .

Найти А \ В.