8. Основное уравнение гидравлического прыжка (вывод)

Буссинеск, используя теорему кол-ва движения, нашел ур-ние связывающее сопряженные глубины h’ и h”. Такое ур-ние получило наз.основного ур-ния прыжка. Рассмотрим случай, когда прыжок устанавливается в достаточно длинном русле, имеющем прямоугольное или близкое к прямоуг.попереч.сечение. В таком русле длина прыжка l_n мало и уклон i можно считать равным нулю, т.е.дно горизонтальное – это 1-е допущение при выводе ур-ния.

Схеиа продольного разреза прыжка.

В сечении 1-1 имеем плавно изменяющееся движение, в 2-2 не вполне плавно изменяющееся движение. Однако при выводе ур-ния будем считать, что в этом сечении движение явл.плавно изменяющееся – это 2-е допущение. Наша задача – найти аналитическую связь между сопряженными глубинами h’ и h”. Для решения этой задачи приложим ур-ние кол-ва движения к отсеку жид-ти АВСД. Согласно ур-нию Буссинеско:

α_оρQ(V₂-V₁)=P₁-P₂-T₀; где V₂ и V₁ – средние скорости в живых сеч.1-1 и 2-2; T₀- проекция силы внешнего трения, приложенной со стороны отсека АВСД на ось S ( силой T₀ по сравнению с др.силами пренебрегаем, т.е. T₀=0 – 3-е допущение); P₁ и P₂ – проекции сил давления, действующих на рассматр-мый отсек со стороны окружающей жид-ти. Обозначим

P₁-P₂=р₁ω₁- р₂ ω₂; где р₁,р₂ – давление в соответствующих сечениях.

Р_s=γу₁ ω₁- γу₂ ω₂=γ(у₁ ω₁- у₂ ω₂)

Подставим полученные значения в первоначальное ур-ние, учитывая, что: ρ/γ=1/g

Получим ур-ние:

α_оρQ(V₂-V₁)= γ(у₁ ω₁- у₂ ω₂)

((α_оQ²)/(g ω₂))+ у₂ ω₂=((α_оQ²)/(g ω₁))+ у₁ ω₁ - Основное ур-ние прыжка.

В этом ур-нии α_о коэф-т Буссинеско. При выводе ур-ния корректив кол-ва движения α_о для сечений АВ и СД приняли одинаковыми: α_о1=α_о2=α_о (четвертое допущение)

9. Формула сопряженных глнбин для прямоугольных русел. Потеря энергии в прыжке. Длина прыжка и послепрыжкового участка.

В случае прямоугольного цилиндрического русла ур-ние прыжка упрощается. Для прямоугольного русла имеем:

ω=bh; у=h/2; q=Q/b. Подставляя данные значения в формулу прыжковой ф-ции будем иметь:

θ(h)=( (αQ²)/(g ω))+ у ω=((α₀q²b)/(gh))+(h²b)/2

рассматривая 1м ширины прямоугольного русла введем понятие удельной единичной прыжковой ф-ции, т.е.прыжковая ф-ция, отнесенная к единицы потока: (θ(h))/b ; θ(h)=b (((α₀q²)/(gh))+(h²)/2);

((α₀q²)/(gh))+(h²)/2 – относительная ф-ция. Учитывая данную ф-цию и подставив ее в ур-ние прыжка получим: (h³_k/h)+(h³/2). Решая это ур-ние относительно h’ и h” получим: (h_k³/h”)+((h”)²/2)= (h_k³/h’)+((h’)²/2).

Выразим сопряженные глубины h’ и h”

h”=(h’/2)[-1]

h’=(h”/2)[-1]

Длину прыжка можно определить по формулам:

1)Павловского(1937): ln=2.5(1.9h”-h’)

2)Сафранеца(1927-1930): ln=4.5h”

3)Бахметева (1936): ln=5(h”-h’)

Длина послепрыжкового участка определяется по формуле :lnn=(10…30)h.

Потеря энергии в прыжке. В пределах прыжка, где имеется водоворотная область в виде поверхностного вальца , получается большая потеря напора. Поэтому удельная энергия струи в пределах прыжка уменьшается по течению.

Для горизонтального русла (при i=0) потеря напора(удельной энергии) в прыжке будет:

Еп=(h’+(α )/(2g))- (h”+(α )/(2g))

В случае прямоугольного русла: Еп=/4h’h”. Потеря энергии в прыжке прямо пропорциональна примерно третьей степени высоты прыжка, следовательно Еп сильно растет с увеличением высоты прыжка.