2.1.3 Метод Ньютона (метод касательных)
Пусть корень уравнения f (х) = 0 отделен на отрезке [а; b], причем f '(х) и f" (х) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем отрезке [а; b]. Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой у = f (х) заменяется касательной к этой кривой.
Первый случай. Пусть f (а) < 0, f (b) > 0, f ' (х) > 0, f" (х) > 0 (см. рис. 4 (а)) или f (а) > 0, f (b) < 0,
f ' (х) < 0, f" (х) <0 (рис. 4 (б)). Проведем касательную к кривой у = f (х) в точке В0 (b; f (b)) и найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох. Известно, что уравнение касательной в точке В0 (b; f (b)) имеет вид
Рис. 4
Полагая у=0, х=х0 , получим
(10)
Теперь корень уравнения находится на отрезке [а; х1]. Применяя снова метод Ньютона, проведем касательную к кривой в точке В1 (х1; f (х1)) и получим
,
и вообще
(11)
147
Получаем последовательность приближенных значений х1, х2,,…., хп,,.., каждый последующий член которой ближе к корню, чем предыдущий. Однако все хп остаются больше истинного корня , т.е. хп—приближенное значение корня с избытком.
Второй случай. Пусть f (а) < 0, f (b) > 0, f ' (х) > 0, f" (х) < 0 (рис. 5(а)) или f (а) > 0, f (b) < 0,
f ' (х) < 0, f" (х) >0 (рис. 5(б)). Если снова провести касательную к кривой у = f (х) в точке В, то она пересечет ось абсцисс в точке, не принадлежащей отрезку [а; b]. Поэтому проведем касательную в точке А0 (а; f (а)) и запишем ее уравнение для данного случая:
Рис. 5
Полагая у=0, х=х1, находим
(12)
Корень находится теперь на отрезке [х1 ; b]. Применяя снова метод Ныотона, проведем касательную в точке
А1 (х1 ; f (х1) и получим
и вообще (13)
Получаем последовательность приближенных значений х1, х2,,…., хп,,.., каждый последующий член которой ближе к истинному корню , чем предыдущий, т. е. хп — приближенное значение корня с недостатком.
Сравнивая эти формулы с ранее выведенными, замечаем, что они отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за х0 принимался конец b отрезка, во втором — конец а.
При выборе начального приближения корня необходимо руководствоваться следующим правилом: за исходную точку следует выбирать тот конец отрезка [а;b], в котором знак функции совпадает со знаком второй производной. В первом случае f (b) f " (х) > 0 и начальная, точка b= х0, во втором f (а) f "(х) > 0 и в качестве начального приближения берем а = х0.
148
Рис. 6
Для оценки погрешности можно пользоваться общей формулой
(14)
где (15)
В том случае, когда отрезок [а, b] настолько мал, что на нем выполняется условиеМ2 < 2 т1, где , а , точность приближения на п-м шаге оценивается следующим образом: если | хп — хп+1 |< то | — хп | < 2.
Если производная f '(х) мало изменяется на отрезке [а;b], то для упрощения вычислений можно пользоваться формулой , (16)
т. е. значение производной в начальной точке достаточно вычислить только один раз. Геометрически это означает, что касательные в точках Вп (хп; f (хп)) заменяются прямыми, параллельными касательной, проведенной к кривой у= f (х) в точке В0 (х0; f (х0)) (см. рис. 6)
Пример 1. Методом касательных уточнить до = 0,001 корень уравнения , расположенный на отрезке [ - 2,75; - 2,5].
Решение: Находим f ' (х) = 3х2 + 6х, f" (х) = 6х + 6. На отрезке [ - 2,75; - 2,5] имеют место неравенства f(- 2,75)<0, f(- 2,75) f" (х) > 0. Поэтому, чтобы воспользоваться методом касательных, следует выбрать х0 =- 2,75. Вычисления будем вести по формуле (16). Находим
f" (-2,75)= 6,1875. Для удобства все вычисления сведем в следующую таблицу:
n |
xn |
|
|
3 |
|
|
0 |
-2,75 |
-20,797 |
7,5625 |
22,6875 |
-1,111 |
0,179 |
1 |
-2,571 |
-16,994 |
6,6100 |
19,8300 |
-0,164 |
0,026 |
149
2 |
-2,545 |
-16,484 |
6,4770 |
19,431 |
-0,053 |
0,008 |
3 |
-2,537 |
-16,329 |
6,43646 |
19,309 |
0,020 |
0,003 |
4 |
-2,534 |
-16,271 |
6,4212 |
19,2636 |
0,007 |
0,001 |
5 |
-2,533 |
|
|
|
|
|
Из таблицы видно, что | х5 — х4 |< 0,001, поэтому корень = - 2,533.