2.1.2 Уточнение корня уравнения методом половинного деления

Второй этап приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений – уточнение корней.

Пусть уравнение f (х) = 0 имеет на отрезке [а; b] единственный корень, причем функция f(х) на этом отрезке непрерывна. Раз­делим отрезок [а; b] пополам точкой с = (а + b )/2. Если

f (с)≠0 (что наиболее вероятно), то возможны два случая: либо f (х) меняет знак на отрезке [a; с] (рис. 3, а), либо на отрезке [с; b] (рис. 3, б).

Рис. 3 (а) Рис.3 (б)

К решению уравнения f (х) = 0 методом половинного деления

Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функ­ция меняет знак, и продолжая

процесс половинного деления даль­ше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего

корень уравнения.

Рассмотренный метод, его называют методом половинного де­ления (другое название — метод дихотомии), можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью.

145

Действительно, если на каком-то этапе процесса получен отрезок [а; b], содержащий корень, то, приняв приближенно х=(а + b)/2, полу­чим ошибку, не превышающую значения

∆х=(b-а)/2 (3)

(заметим, что речь в данном случае идет о погрешности метода). Метод половинного деления требует утомительных ручных вычислений, однако он легко реализуется с помощью программы на ЭВМ.

Пример 3. Методом половинного деления уточнить до меньший корень уравнения

.

Решение: отделим корни этого уравнения аналитически. Функция f(х) определена на всей числовой оси. Приравняем производную нулю и найдем критические точки:

.

Составим таблицу знаков функции:

х		-2	-1	0	1
знак f(x)	-	+	-	-	+	+

Из таблицы видим, что левый корень принадлежит интервалу (; -2). Возьмем для пробы . Тогда получим таблицу:

х	-3	-2	-1	0	1
знак f(x)	-	+	-	-	+

Следовательно, корни уравнения принадлежат промежуткам (-3; -2); (-2; -1); (0; 1). Уточним меньший корень, лежащий в интервале (-3; -2), метом половинного деления. Для удобства вычислений составим таблицу (знаки «-» и «+» в верхних индексах означают, что )

п
0	-3	-2	-2,500	-15,625	18,750	0,125
1	-3	-2.500	-2,750	-20,800	22,689	-1,111
2	-2,750	-2.500	-2.625	-17, 90	20,670	-0,320
3	-2,625	-2,500	-2,563	-16,840	19,701	-0,130
4	-2,563	-2,500	-2,532	-16,230	19,233	0,003
5	-2,563	-2,532	-2,548	-16,540	19,479	-0,071
6	-2,548	-2,532	-2,540	-16,390	19,356	-0,034

146

7	-2,540	-2,532	-2,536	-16,310	19,293	-0,014
8	-2,536	-2,532	-2,534	-16,270	19,263	-0,007
9	-2.534	-2,532	-2,533	-16, 250	19,248	-0,002
10	-2,533	-2,532

Итак, корень уравнения .