В

Матричная механика Гейзенберга

истории развития физики микроскопических явлений особое место занимает период с 1925 по 1928 год, когда чрезвычайно быстро произошло становление нового раздела теоретической физики – квантовой механики. В течение этого периода был найден математический аппарат, адекватный описываемым закономерностям микроскопических явлений. Теоретические методы квантовой механики были разработаны сначала в форме матричной механики Гейзенбергом и Борном, затем – в форме волновой механики Шредингером. Хотя по своей форме матричная механика Гейзенберга сильно отличалась от волновой механики, обе теории, как показал Шредингер, были эквивалентны. Становление квантовой механики завершилось, когда Дираку удалось создать ее обобщенную математическую формулировку. Была разработана физическая интерпретация математического аппарата квантовой механики – Борн дал статистическое истолкование волновой функции, Гейзенберг открыл соотношения неопределенностей, Бор сформулировал принцип дополнительности. Методами квантовой механики был решен ряд важных задач физики атомов и молекул, были намечены пути решения разнообразных проблем физики микроскопических явлений, разработаны различные приближенные методы квантовой механики.

Первые работы по квантовой механике, исходящие из принципа соответствия Бора и основанные на применении матричного исчисления, появились в журнале «Zeitschrift fur Physik», начиная с сентября 1925 года, когда была опубликована статья двадцатичетырехлетнего немецкого физика Вернера Гейзенберга «Квантовотеоретическое истолкование кинематических и механических зависимостей». Согласно Гейзенбергу, главная причина несостоятельности теории Бора заключалась в том, что эта теория оперировала с физическими величинами, которые принципиально невозможно измерить в эксперименте. Так, теория Бора пыталась описать орбиту электрона и скорость его движения вокруг ядра, не принимая во внимание невозможность определить положение электрона в атоме, не разрушив при этом сам атом. Ведь для того, чтобы с достаточной точностью определить положение электрона в атоме, диаметр которого составляет несколько ангстрем, необходимо облучать атом жестким рентгеновским или  – излучением; однако в этом случае комптоновская отдача электрона будет настолько велика, что его связь с атомом разорвется, и атом ионизируется.

Гейзенбергу представлялось целесообразным «попробовать построить аналогичную классической механике квантовую механику, в которой имеются лишь соотношения между наблюдаемыми величинами». Исходя из этого принципа, Гейзенберг, разработал основы теории, развитой в дальнейшем им самим, М. Борном и П. Йорданом. Согласно принципу соответствия Бора, новая квантовая теория должна определенным образом соответствовать классической теории. При этом для каждой классической величины необходимо найти соответствующую ей квантовую величину и, пользуясь классическими соотношениями, составить соответствующие им соотношения между квантовыми величинами. Классическим частотам колебаний электрона в атоме Гейзенберг сопоставил частоты излучения при квантовых переходах, а классическим амплитудам колебаний – амплитуды, определяющие интенсивность излучения при переходах. При этом оказалось, что математический аппарат матричной механики является развитием и обобщением хорошо известного математикам аппарата теории рядов Фурье.

Как известно, всякую периодическую функцию, например, координату материальной точки, совершающей периодическое движение, можно разложить в ряд Фурье

. (18.1)

Произведение множеств элементов разложения в ряд Фурье и также является множеством элементов Фурье вида . В этом легко убедиться, построив произведение двух разложений типа (18.1), например:

. (18.2)

Обозначив k + l = m, перепишем соотношение (18.2) в виде:

, (18.3)

где . Последняя формула определяет правило умножения двух множеств элементов разложения в ряд Фурье.

В зарождающейся теории атомных явлений атом характеризовался частотой излучения спектральных линий, их интенсивностью, поляризацией и т.д. Гейзенберг поставил перед собой задачу построить «механику оптических частот», призванную заменить классическую механику. По аналогии с теорией рядов Фурье он сопоставил каждой классической величине F множество элементов типа

, (18.4)

где – частоты излучения при переходе электрона из состояния с энергией E_n в состояние с энергией E_m. Амплитуды f_nm, по Гейзенбергу, связаны с вероятностью такого перехода и определяют интенсивность излучения частоты _nm.

Продолжая аналогию с теорией рядов Фурье, Гейзенберг потребовал, чтобы произведение двух множеств элементов типа (18.4) оставалось множеством того же типа с тем же спектром частот. Для этого ему пришлось ввести правило умножения двух множеств элементов (18.4), аналогичное правилу (18.3) умножения двух множеств элементов Фурье, например:

. (18.5)

Здесь, согласно комбинационному принципу Ритца, _nk + _km = _nm. И обозначая , видим, что также является элементом множества типа (18.4):

. (18.6)

В соответствии с полученным результатом Гейзенберг разместил амплитуды f_nm в виде квадратной таблицы

и установил правило умножения для таких таблиц, согласно которому произведение двух таблиц А и В является квадратной таблицей того же типа С, причем любой элемент c_nm таблицы C выражается через элементы таблиц А и B следующим образом:

. (18.7)

Построенная Гейзенбергом математическая схема оказалась некоммутативной, и это чуть было не поставило его в тупик. Работавший в то время в Геттингенском университете Гейзенберг ознакомил с разработанной теорией своего научного руководителя Макса Борна, который и обнаружил, что изобретенный Гейзенбергом математический аппарат есть не что иное, как уже хорошо известное в высшей алгебре матричное исчисление. «Каким талантливым невеждой надо было быть, – говорил позже в шутку Борн, – чтобы не знать существующего математического аппарата, и самому изобрести его, раз он тебе понадобился».

В том же 1925 году Борн и Йордан придали идеям Гейзенберга более строгую математическую форму. Они установили, что с математической точки зрения переход от классической теории к квантовой состоит в замене обычных величин и действий над ними матрицами и соответствующими действиями над последними. Основными, согласно Борну и Йордану, являются матрицы координат и импульсов с элементами и соответственно. Из этих матриц по принципу соответствия можно образовать матрицы других физических величин.

Дифференцируя матрицы Гейзенберга (18.4) по времени, получаем:

.

Это соотношение можно переписать в виде:

. (18.8)

Считая E_n и E_m диагональными элементами матрицы энергии E (недиагональные элементы равны нулю), так что E_n_nk = E_nk и E_m_km = E_km, запишем формулу (18.8) в окончательном виде:

, (18.9)

или в матричной форме:

. (18.10)

Это коммутационное соотношение явилось фактически центральным пунктом в теории Гейзенберга. Применительно к матрице координаты q оно давало:

.

А с учетом выражения для энергии частицы получалось:

,

откуда следовало: . Учитывая, что , приходим к перестановочному соотношению Борна для обобщенной координаты q и соответствующего ей обобщенного импульса p:

. (18.11)

Эти результаты, основанные на исходных идеях Гейзенберга, были изложены Борном и Йорданом в статье «К квантовой механике» от 29 сентября и в статье Борна, Гейзенберга и Йордана «К квантовой механике II» от 16 ноября, опубликованных в «Zeitschrift fur Physik». Первые работы по квантовой механике в матричной форме вызвали большой интерес, и уже в конце 1925 года и в начале 1926 года они получили развитие в работах других ученых.