
- •Задачи и упражнения по курсу математика: экономико-математические методы
- •Часть 1. Линейное программирование (лп)
- •Тема 1. Построение моделей. Геометрическое решение
- •Решить графически следующие задачи линейного программирования:
- •Тема 2. Двойственность в лп
- •Тема 3. Симплекс–метод
- •1. Нелинейное программирование (нлп)
- •Тема 1. Геометрическое решение задач нлп
- •Тема 2. Выпуклые и вогнутые функции.
- •Тема 3. Безусловный экстремум (Задачи без ограничений)
- •Тема 4. Условный экстремум. (задачи с ограничениями в форме равенств)
1. Нелинейное программирование (нлп)
Тема 1. Геометрическое решение задач нлп
На заданном множестве Х найти экстремумы заданных функций f(x).
-
X:
.
a)
,
b)
,
c)
.
2. X:
,
.
a)
,
b)
.
3. X:
.
a)
,
b)
,
4. X:
.
.
-
X:
,
.
.
-
X:
,
,
.
.
-
X:
.
.
Тема 2. Выпуклые и вогнутые функции.
На заданном множестве Х исследовать функции на выпуклость.
1.
,
X= R2.
2.
,
X = R2
.
3.
,
X:
.
4.
,
X = R3
.
5.
,
X:
6.
,
X = R2
.
Тема 3. Безусловный экстремум (Задачи без ограничений)
Найти точки экстремума следующих функций и определить их характер.
1.
.
2.
3.
4.
5.
6. Фирма производит моторные масла марок А и В. Цена, по которой фирма реализует произведенную продукцию, зависит от объема ее выпуска.
7. Пусть x1 – ежедневный выпуск масла А, x2 – ежедневный выпуск масла В. Тогда цена за одну тонну А равна 80 –3x1, а цена за тонну масла В равна 60 – 2x2 . Ежедневные издержки производства равны 20x1 + 12x2 . Сколько тонн масел А и В надо производить в сутки, чтобы прибыль от реализации продукции была максимальной?
Тема 4. Условный экстремум. (задачи с ограничениями в форме равенств)
Найти точки условного экстремума следующих функций.
1.
→ extr,
при условии
.
2.
→
extr, при условии
.
3.
→
extr, при условии
.
4.
→
extr, при условии
.
5. Среди всех прямоугольников заданного периметра найти прямоугольник наибольшей площади.
6. Предположим, что в задаче 7 из темы 3 появилось дополнительное условие:
В результате нефтяного кризиса поставки нефти ограничиваются объемом 24 т. в сутки. Как изменится оптимальный план выпуска продукции, если на производство одной тонны масла любой марки идет 2 т. нефти?
7. Инвестор собирается
вложить в три проекта 29 млд. руб. Ожидаемый
доход составляет
- от инвестиций в первый проект,
- от инвестиций во второй проект и
-
от инвестиций в третий проект. Как
распределить средства между проектами,
чтобы ожидаемый суммарный доход был
максимальным?
8. Фирма должна проложить оптоволоконный кабель от пункта А до пункта В, расположенного на противоположном берегу канала на расстоянии 200 м, если мерить вдоль берега. Ширина канала равна 15 м. Определите наиболее дешевый маршрут прокладки кабеля, если прокладка 1 м. кабеля под каналом стоит 80 долл., а 1 м. кабеля вдоль берега – 40 долл.