Решить графически следующие задачи линейного программирования:

12. f(x) = 2x₁ + x₂ max, min 13. f(x) = –2x₁ + 4x₂ max, min

2x₁ + 4x₂  16, 6x₁ – 2x₂  12,

–4x₁ + 2x₂  8, – x₁ + 2x₂  5,

x₁ + 3x₂  9, x₁ + x₂  1,

x₁, x₂  0. x₁, x₂  0.

14. f(x) = 2x₁ + x₂ max, min 15. f(x) = 2x₁ + 3x₂ max, min

x₁ + 2x₂  2, x₁ + x₂  6,

2x₁ – x₂  0, x₁ + 4x₂  4,

x₁ – x₂  –1, 2x₁ – x₂  0,

x₁ – 2 x₂  0 x₁, x₂  0.

x₁, x₂  0.

16. f(x) = 2x₁ + x₂ max, min 17. f(x) = x₁ + x₂ max, min

2x₁ + x₂  1, x₁ + 2x₂  14,

3x₁ – x₂  –1, –5x₁ + 3x₂  15,

x₁ – 4x₂  2, 4x₁ + 6x₂  24,

x₁, x₂  0. x₁, x₂  0.

18. f(x) = x₁ + 2x₂ max, min 19. f(x) = 2x₁ + 4x₂ max, min

4x₁ – 2x₂  12, 3x₁ + 6x₂  12,

–x₁ + 3x₂  6, 2x₁ – x₂  –2,

2x₁ + 4x₂  16, –x₁ + 3x₂  0,

x₁, x₂  0. x₁, x₂  0.

20. f(x) = x₁ + 2x₂ max, min 21. f(x) = 2x₁ + x₂ max, min

3x₁ – 2x₂  6, –x₁ + x₂  2,

–x₁ + 2x₂  4, 4x₁ + 2 x₂  6,

3x₁ + 2x₂  12, 4x₁ – 3x₂  6 ,

x₁, x₂  0. x₁, x₂  0.

Тема 2. Двойственность в лп

Составить  двойственные задачи к следующим задачам ЛП.

1. f(x) = 2x1– 2x2+ 3x3– 6x4  max               –2x1+ x2 – 2x3 + x4 = –10                  x1– 5x2 – x3 + 2x4 = 35                  xj  0, j=1,2,3,4	2. f(x) = – x1 – 3x2+ x3  min                  x1+ x2+ x3  6                  x1– x2+ x3  8                 xj   0, j=1,2
3. f(x) = 9x1+ 2x2+ 3x3+ 2x4  min               –x1+ x2+ 2x3        = 2               3x1+ x2 – x3 – 4x4 = –1                  xj  0,  j=1,2,3,4	4. f(x) =  x1 – 2x2 max                x1+ x2  4              3 x1– x2  8               4x1+ x2  0   x2  0

Составить  двойственные задачи к следующим задачам ЛП и найти решение каждой пары геометрическим методом.

5. f(x) = – 2 x1+ x2  max              – x1+ x2  2                   x1+ 2 x2  7                   xj  0, j =1,2	6. f(x) = 7 x1 + 3 x2    min                  3 x1 – x2   1                   x1 – 3 x2  –5                   xj   0, j =1,2
7. f(x) = 2 x1+ 3 x2  max              –3 x1+ x2  3                 x1– 2 x2                    xj  0,  j =1,2	8. f(x) = 6 x1 – 4 x2 min                3 x1+ 2 x2              – 4 x1     5                     x1, x2  0

9. Проверить, является ли точка x^/= (1/2, 0, 0) оптимальным планом задачи ЛП.

                         f(x) = 2x₁+6x₂+4x₃ max,

                                  0,2x₁ + x₂ + 2x₃ ≤ 1 ,

                                   x₁ + 2x₂ + x₃ 2,

                                      x₁, x₂, x₃ 0.

10. Проверить, есть ли среди точек   x ^/ = (5, 0, 0, –2) ,  x ^// = (1, 1/2, 1/2, 0),

x ^/// = (2, 1, 0, 0) оптимальный план задачи

         f(x) = 4 x₁+ 3 x₂ – 3 x₃ – 2x₄max

                    x₁+ x₂ + 3 x₃+ x₄ = 3

                     x₁– x₂ + x₃ + 2 x₄ = 1

                      x_j  0,  j =1,2,3,4

Найти решение следующих задач ЛП, используя условия равновесия.

В ответе указать оптимальные планы прямой и двойственной задач и значения целевых функций. 

11. , ,	12. , ,
13. , ,	14 .

Найти решение следующих задач ЛП, используя условия равновесия, если известно оптимальное решение двойственной задачи (геометрически решать не надо ! ).

15.     f(x) = –x1– 6x2+5 x3  max      x1+3x2 + x3  4      x1– x2 + 2x3  2 у*(1; 3)      xj  0, j=1,2,3

16.    f(x) = 9x1+2x2+3x3+2x4  min     –x1+ x2+ x3– x4 = 2     3x1+x2 – x3– x4 = –1 у*(–2,5; 0,5)     xj 0, j=1,2,3,4

Проверить с помощью условий равновесия, является ли точка x^/ оптимальным планом задачи (геометрически решать не надо ! ).

17. , ,

18. , ,

19. Фабрика производит три типа изделий А, В, С, используя для этого два вида сырья S₁ и S₂. Расход сырья на одно изделие, его запасы и цена реализации единицы продукции приведены в таблице

Вид cырья	Расход сырья на единицу			Запас сырья
	А	В	С
S1	1	3	4	9
S2	2	2	3	8
цена	5$	10$	12$

Найти план выпуска продукции, максимизирующий суммарный доход.

20. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на витаминную диету и за сезон употребить витамина В₁ и витамина В₂, содержащихся во фруктах, в количествах не менее, чем указано в таблице:

Витамины	Содержание витаминов (ед.) в 1 кг. фруктов.			Норма потребления витаминов (ед.)
	Клубника	Яблоки	Смородина
Витамин В1	3	2	1	31
Витамин В2	1	3	4	69
Цена за 1 кг. (руб.)	80	40	64

Определить, какое количество фруктов каждого вида необходимо купить за сезон, чтобы выполнить предписание врача с минимальными расходами.