Номера для самостоятельного решения.
№1
Сумма трех чисел, образующих арифметическую
прогрессию, равна 12. Какие значения
может принимать
?
№2
Могут ли числа 1,
и
быть членами (не обязательно
последовательными) одной арифметической
прогрессии?
№3
Известно, что первый, десятый и сотый
член геометрической прогрессии
.
Верно ли что девяносто девятый член
тоже
?
№4
Найдите все состоящие из простых чисел
арифметические прогрессии (не менее 3
чисел) с
Ответы и решения.
№1
Ответ:
№2
Ответ: нет
№3
Ответ: нет
№4
Ответ:
Тема 6. “Смешанные задачи”
Задачи из различных редких, но важных тем.
Необходимая теория.
Диофантов уравнение — это уравнение
вида
где P — целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные xi принимают целые значения.
Если в уравнении
выполняется
,
то оно разрешимо в целых числах.
Цепная дробь — это математическое
выражение вида
,
где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа . Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.
В математике, целая часть вещественного
числа x — округление x до ближайшего
целого в меньшую сторону.
Функция пол
определяется как наибольшее целое,
меньшее или равное x:
Функция потолок
определяется как наименьшее целое,
большее или равное x:
Номера для самостоятельного решения.
№1
Все обыкновенные правильные несократимые
дроби, числители и знаменатели которых
двузначные числа, упорядочили по
возрастанию. Между какими двумя
последовательно расположенными дробями
находится число
?
№2
Известно что
-
натуральное число. Доказать, что
-
так же натуральное число.
№3
Каждое из чисел
умножают на каждое из чисел
и перед каждым из полученных произведений
произвольным образом ставят знак плюс
или минус, после чего все 54 полученных
результата складывают. Какую наименьшую
по модулю и какую наибольшую сумму можно
получить в итоге?
№4
Решите в целых числах уравнение
№5
Решите уравнение
№6
Найдите все пары натуральных
и
удовлетворяющие равенству
№7
Докажите, что выражение
не равно 33 не при каких целых значениях
и
.
№8
Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же шарики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 шарика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее количество шариков может быть при таких условиях?
№9
Решить уравнение
№10
Докажите, что уравнение
№11
Доказать что равенство
для целых чисел
возможно только при
