4.11. Асимптоти графіка функції
О
значення.
Нехай для функції y
= f(x)
існує така пряма, що відстань від поточної
точки М(
x,
f(x))
графіка функції до цієї прямої прямує
до нуля при віддаленні точки М
в нескінченність вздовж графіка функції.
Тоді така пряма називається асимптотою
графіка функції
(рис. 4.5).
Залежно від розташування на координатній площині розрізняють вертикальні і невертикальні асимптоти.
Вертикальна
асимптота
має рівняння вигляду x
=
a.
Згідно з означен-ням асимптоти пряма
x
=
a
є асимптотою тоді і тільки тоді, коли
при x
a
значення функції y
= f(x)
необмежено зростають, тобто
.
Одержуємо правило: якщо
,
то пряма
x
=
a
є вертикальною асимптотою графіка цієї
функції.
Рівняння
невертикальної
асимптоти
можна
записати
у
вигляді
y
= kx
+ b.
При віддаленні точки М(
x,
f(x))
графіка функції в нескінченність в
цьому випадку буде x
.
Відповідно до означення асимптоти пряма
y
= kx
+ b
буде невертикальною асимптотою
функції y
= f(x)
тоді і тільки тоді, якщо (f(x)
(kx
+ b))
0 при x
.
В такому разі і
при x
,
тобто
,
звідки
. (4.8)
Далі:
,
звідки
. (4.9)
Одержуємо правило: якщо існують границі (4.8) і (4.9), то пряма y = kx + b є невертикальною асимптотою графіка функції y = f(x). Якщо при цьому k = 0, то асимптота називається горизонтальною, а якщо k 0, то похилою. Якщо хоча б одна з границь (4.8), (4.9) не існує, то графік функції невертикальної асимптоти не має.
Приклад.
Знайти асимптоти графіка функції
.
Розв'язання. Оскільки функція означена на всій осі, крім точки x = 2, то вона неперервна всюди, крім x = 2.Тому вертикальна асимптота може існувати лише в цій точці. Маємо
,
оскільки
функція
нескінченно мала при x
2. Отже пряма x
= 2
вертикальна асимптота.
Знайдемо невертикальні асимптоти. Для цього обчислимо границі (4.8) та (4.9):
3;
=
=
1.
Таким чином невертикальна асимптота існує і її рівняння y = 3x + 1 (асимптота похила).