
- •Розділ 4. Вступ до математичного аналізу
- •4.1. Поняття множини. Логічна символіка. Необхідна і достатня умови, пряма і обернена теореми
- •4.2. Дійсні числа. Деякі числові множини
- •4.3. Поняття функції. Способи завдання числових функцій
- •4.4. Класифікація функцій. Поняття елементарної функції
- •4.5. Неявна функція, обернена функція, функція, задана параметрично
- •4.6. Границя функції. Нескінченно малі та нескінченно великі функції
- •4.7. Властивості границь
- •4.8. Еквівалентні функції
- •4.9. Визначні границі
- •Друга визначна границя:
- •4.10. Неперервні функції. Властивості неперервних функцій. Неперервність елементарних функцій
- •4.11. Асимптоти графіка функції
4.6. Границя функції. Нескінченно малі та нескінченно великі функції
Означення.
Нехай функція f(x)
визначена в деякому проколеному околі
точки x0.
Число a
називається границею
функції f(x)
у точці
x0,
якщо для будь-якого додатного числа
існує таке додатне число
(залежне
від
),
що для всіх значень x
із проколеного
–околу
точки x0
відповідні значення f(x)
належать до
–околу
точки a
(див.
рис. 4.2). Це можна коротко записати так:
,
або
.
Рис. 4.2.
Зауваження. Згідно з означенням у самій точці x0 функція f(x) може бути не визначена.
Те, що функція f(x) має в точці x0 границю a ,позначається так:
f(x)
= a.
Читається:
границя f(x)
в точці x0
дорівнює a.
Позначення
походить від латинського limes
(границя). Іноді пишуть також:
f(x) a при x x0
(f(x) прямує до границі a при x, що прямує до x0).
Означення.
Нехай функція f(x)
визначена при всіх х,
що задовольняють нерівність |x|
> K
при K
> 0.
Число a
називається границею
функції f(x)
на нескінченності,
якщо для будь-якого
існує таке число
(залежне від
),
що |f(x)
– a|<
для
всіх значень x,
які задовольняють нерівність |x|
> M.
Коротко це записують так:
.
В цьому
разі пишуть:
f(x)
= a
або f(x)
a
при
x
.
Іноді виникає потреба розглядати лише додатні або лише від’ємні значення x. Для цього запровадимо односторонні границі функції на нескінченності, а саме
Означення.
Нехай функція f(x)
визначена при всіх х,
що задовольняють нерівність x
> K
(x
< – K)
при K
> 0.
Число a
називається границею
функції f(x)
на плюс нескінченності (мінус
нескінченності),
якщо для будь-якого
існує таке число
(залежне від
),
що |f(x)
– a|<
для
всіх значень x,
які задовольняють нерівність x
> M
(x
< – M).
В цьому
разі пишуть:
f(x)
= a
(
f(x)
= a).
Означення.
Функція
f(x)
називається нескінченно малою в точці
x0,
якщо
f(x)
= 0.
Теорема
(про зв'язок нескінченно малих з границею).
Для того, щоб
f(x)
=
a,
необхідно і достатньо, щоб функція
g(x)
= f(x)
– a
була нескінченно малою в точці x0
(тобто щоб функція f(x)
була зображувана у вигляді f(x)
= g(x)
+
a
, де g(x)
нескінченно мала в точці x0).
Необхідність.
Дано, що
f(x)
=
a.
Тоді для будь-якого числа
існує таке число
,
що для всіх значень x,
для яких виконується нерівність |
x
– x0|
< ,
виконується також нерівність |f(x)
– a|
<
.
Оскільки
g(x)
= f(x)
– a,
то останню нерівність можна записати
як |g(x)|
= |g(x)
– 0|
< ,
а це і означає, що
g(x)
= 0.
Достатність.
Дано, що f(x)
= g(x)
+
a,
де g(x)
нескінченно мала в точці x0.
Тоді для будь-якого числа
існує таке число
,
що для всіх значень x,
для яких виконується нерівність |
x
– x0|
< ,
виконується також нерівність |g(x)|
= |f(x)
– a|
< ,
а це означає, що
f(x)
=
a.
Теорема
(про добуток нескінченно малої функції
на обмежену).
Якщо функція u(x)
обмежена в деякому околі
,
а функція g(x)
– нескінченно мала в точці x0,
то функція
f(x)
= u(x)g(x)
нескінченно
мала в точці x0.
Доведення.
Обмеженість
u(x)
означає, що знайдеться таке число М,
що для всіх
|u(x)|
M.
Функція
g(x)
нескінченно мала в точці x0,
тобто
f(x)
= 0.
Це означає, що
.
Нехай
- переріз множин
та
.
Тоді для заданого
,
а це означає, що
f(x)
= 0,
тобто f(x)
= u(x)g(x)
нескінченно
мала в точці x0.
Приклад.
Функція
f(x)
=
нескінченно мала в точці х
= 0, бо
x
= 0, а
для всіх х
≠ 0, тобто це обмежена функція.
Означення.
Функція f(x)
називається нескінченно
великою в точці
x0,
якщо для будь-якого числа М
існує таке додатне число
(залежне
від М),
що для всіх значень x
із проколеного
–околу
точки x0
вірна нерівність
|f(x)|
> M,
або коротко
.
Це записується так:
f(x)
= .
При цьому слід мати на увазі, що нескінченно велика функція границі не має (символ не є числом).
Теорема
(про зв'язок між нескінченно малими і
нескінченно великими функціями). Якщо
функція f(x)
нескінченно мала в точці x0,
то функція
нескінченно велика в цій точці, і навпаки.
Доведення.
Функція
f(x)
нескінченно мала в точці x0,
тобто
f(x)
= 0.
Це означає, що
.
Тоді для заданого M
,
а це означає, що функція
нескінченно велика в точці x0.
Зауваження. Означення нескінченно малих і нескінченно великих функцій і теореми, що з них випливають, залишаються в силі і для границь на нескінченності.
Приклад
1. Функція
f(x)
= 2х
– 6 нескінченно мала в точці x0
= 3, отже функція g(x)
=
нескінченно велика в цій точці.
Приклад
2. Функція
f(x)
= х
+ 4 нескінченно велика при
x
,
отже функція g(x)
=
нескінченно мала при
x
.