4.4. Класифікація функцій. Поняття елементарної функції

Основними елементарними функціями називаються:

1. Стала функція ;

2. Степенева функція ,  R;

3. Показникова функція ;

4. Логарифмічна функція ;

5. Тригонометричні функції: , , ;

6. Обернені тригонометричні функції: , , .

Функція, визначена одним аналітичним виразом (формулою), утвореним з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа арифметичних дій і композицій (утворення складених функцій) називається елементарною. Наприклад, , , тощо.

Всі інші функції називаються неелементарними. Зокрема, неелементарною є функція, задана різними аналітичними виразами для різних інтервалів зміни аргументу, наприклад

Елементарні функції поділяються на кілька класів.

1. Функція вигляду

,

де п  , – будь-які числа називається цілою раціональною функцією або многочленом (поліномом) степеня п. Многочлен першого степеня називають також лінійною функцією, а многочлен другого степеня – квадратичною функцією.

2. Функція, що являє собою відношення двох многочленів

,

називається дробово-раціональною функцією, Многочлен і дробово-раціональні функції разом утворюють клас раціональних функцій.

3. Функція, яка отримана за допомогою скінченного числа арифметичних дій і композицій над степеневими функціями з раціональними показниками, і не є раціональною, називається ірраціональною функцією, наприклад , .

Раціональні і ірраціональні функції входять до більш загального класу – алгебраїчних функцій, які визначаються рівнянням виду

,

де є многочленами.

4. Усяка функція, яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною. Це, наприклад, функції , , і т.д.

4.5. Неявна функція, обернена функція, функція, задана параметрично

Досі ми розглядали функції, задані рівнянням вигляду . В цьому випадку кажуть, що функція задана явним чином або є явною. Але функцію може визначати і рівняння вигляду

, (4.1)

не розв’язане відносно залежної змінної у. Тут заданому значенню незалежної змінної ставиться у відповідність значення , яке є коренем рівняння з одним невідомим

.

Цей корінь повинен бути єдиним для того, щоб можна було говорити про функцію, задану рівнянням (4.1), інакше даному значенню х відповідатимуть кілька значень у, що суперечить означенню функції. Про функцію, задану рівнянням вигляду (4.1) кажуть, що вона задана неявно або неявною.

Приклади.

1. Рівняння визначає у як неявну функцію від х, тому що кожному значенню х відповідає єдине значення у, в чому можна переконатися, розв’язавши рівняння відносно у і отримавши явний вираз для у: .

2. Тим часом рівняння не визначає неявної функції, бо, наприклад, значенню відповідають два значення і .

Зазначимо, що явну функцію можна завжди записати як неявно задану рівнянням , але не навпаки, тому що не кожне рівняння вигляду (4.1) можна розв’язати відносно у. Слід мати на увазі, що терміни „явна функція” і „неявна функція” стосуються не природи функції, а способу її аналітичного завдання.

Важливою характеристикою функції є монотонність.

Означення. Розглянемо функцію , визначену в інтервалі . Нехай і – довільні числа з цього інтервалу. Якщо з нерівності випливає, що

а) , то функція називається зростаючою;

б) , то функція називається неспадною;

в) , то функція називається спадною;

г) , то функція називається незростаючою;

Зростаючі, незростаючі, спадні й неспадні функції в інтервалі називаються монотонними в цьому інтервалі, а зростаючі і спадні – строго монотонними.

Нехай функція визначена на множині Х, а множиною її значень є . Це означає, що кожному значенню відповідає єдине значення . Якщо при цьому різним значенням х відповідають різні значення у, то в свою чергу кожному значенню можна поставити у відповідність єдине значення , таке, що . Таким чином буде визначено функцію , яка визначена на множині і має множину значень Х. Ця функція називається оберненою функцією до функції . Проілюструємо це схемою (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Таким чином і , тобто функції і є взаємно оберненими. Зазначимо, що функцію, обернену до функції часто позначають як .

Приклади.

1. Якщо , то .

Справді, ; .

2. Якщо , то , бо

і .

3. Якщо , , то , бо

і .

Теорема Якщо функція строго монотонна в інтервалі , то вона має обернену.

Дійсно, з означення строго монотонної функції випливає, що різним значенням аргументу ставляться у відповідність різні значення функції, а це внаслідок визначення оберненої функції і означає її наявність.

В розділі 3 йшла мова про те, що лінія на площині може бути задана параметричними рівняннями вигляду

(3.5)

Нехай – яке-небудь число з проміжку . Тоді і , тобто рівняння (3.5) ставлять у відповідність кожному числу із області значень функції одне або кілька значень у із області значень функції . Якщо при цьому кожному відповідає єдине значення , то це означає, що рівняння (3.5) визначають функцію із областю визначення і областю значень . Такий спосіб завдання функції називається параметричним. Рівняння (3.5) визначають деяку криву на площині, отже і задана параметрично функція визначає на площині криву, а саме графік цієї функції, але не всяка параметрично задана лінія визначає функцію. Кожному значенню повинно відповідати єдине значення , а це можливо, якщо кожному значенню відповідає єдине значення х, тобто якщо функція має обернену . Якщо ця обернена функція відома, то можна одержати явний вираз функції як складеної функції

.

Приклади.

1. Рівняння

визначають функцію, оскільки змінна строго монотонна на відрізку , отже має обернену, а саме . Тоді явний вираз функції

.

Таким чином задана функція має графіком півколо , розташоване у верхній півплощині, тому що при значення .

2. Рівняння

визначають на площині коло , але функцію не визначають. Справді, наприклад, , тоді як , а .

Зауважимо, що явне чи параметричне визначення функції характеризують не природу функції, а лише спосіб її аналітичного завдання.